作者: 有乔木 公众号:小詹学Python
宠物鱼店主戴夫最近引进了一批彩虹鱼,打算捞一笔,他引进了30条彩虹鱼,每天要卖出20条,未来会发生什么呢?让我们和欧拉预测一波 已知 20条鱼每天能生殖14条小鱼
每条鱼每天平均产出0.7条鱼
照料的很好,死亡率 = 0
简化模型,刚出生的小鱼就能生殖小鱼
鱼缸最大环境承受值750条
越接近环境承受值,小鱼的生育力越低(暗含死亡率)
每天卖出20条小鱼
建模 P(0) = 30 第0天的小鱼数量 P_init = 30
P(1) = P(0) + 0.7 * P(0) - 20 第1天的小鱼的数量
P(t+Δt) = P(t) +0.7 * P(t) * Δt -20 * Δt 第t+Δt天相对第t天的小鱼数量
P(t+Δt) = P(t) +0.7 *(1 - P(t)/750) * P(t) * Δt -20 * Δt 加入环境承受值对于生育率的影响(简单模型)
简单的分析一下P的变化-微分和导数 这是一个P的导数,相关与P函数本身的一个微分方程,Autonomous differential equations 自控微分方程 。看上去是不是很复杂,这个时候我们就要呼唤欧拉了 :欧拉方法,命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉(),是一种一阶数值方法,用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法(Explicit method)。
python实现 函数和初始值 def fish_predict (Dt) : t_init = 0
t_end = 30 P_init = 30 n_steps = int(round((t_end-t_init)/Dt))
在这里n_steps = (30-0)/Δt ,代表着一共做多少次欧拉方法来绘制函数图像
引入数学分析工具 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
建立自变量和因变量矩阵 t_arr = np.zeros(n_steps + 1 ) P_arr = np.zeros(n_steps + 1 ) t_arr[0 ] = t_init P_arr[0 ] = P_init
欧拉方法-步进,得到函数离散值 for i in range (1 , n_steps + 1 ): P = P_arr[i-1 ] t = t_arr[i-1 ] dPdt = 0.7 *P*(1 -P/750 )-20 P_arr[i] = P + Dt*dPdt t_arr[i] = t + Dt return P_arr,t_arr
这样的循环下来,我们就将欧拉方法融入python中,返回两个离散的P_arr、t_arr矩阵,帮助我们描述函数了
在不同变化量下调用函数 为了更加深刻的理解欧拉法求解微分方程,我在这里使用三个不同的变化量使用欧拉方法
p1,t1 = fish_predict(1 ) p2,t2 = fish_predict(0.5 ) p3,t3 = fish_predict(0.25 )
绘图 - 曲线 fig = plt.figure() plt.plot(t1, p1, linewidth = 4 ) plt.plot(t2, p2, linewidth = 4 ) plt.plot(t3, p3, linewidth = 4 )
绘图 - 标签、轴、网格 plt.title('fish' , fontsize = 25 ) plt.xlabel('t' , fontsize = 20 ) plt.ylabel('P(t)' , fontsize = 20 ) plt.legend(['Dt = 1' ,'Dt = 2' ,'Dt = 3' ]) plt.xticks(fontsize = 15 ) plt.yticks(fontsize = 15 ) plt.grid(True ) plt.axis([0 , 25 , 0 , 800 ])
图像展示 plt.show()
通过这么多我们可以分析得出,小店店主可以快乐的天天卖鱼捞金了。不过我才不会告诉他,小鱼要长几个月才能有生育能力。。。
如果对于鱼群的年龄和数量分布再进行分析,增加一个复杂的多为矩阵表示鱼群,也不成问题~总结 本文对于一个鱼缸进行简单的数学建模、欧拉方法求解,数学转换代码,连续图像离散化,离散点构建图像,numpy构建矩阵,matplotlib.pyplot绘图,python实现。
这个鱼缸的最简模型从来不是python和数学的终点。 仅仅是本文,和作者的一个暂时的节点。
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