简明手册 | TensorFlow Quantum: 混合量子 — 经典机器学习

推荐阅读
如果你希望更深入地了解量子力学以及量子计算的基本原理，建议可以从以下两本书入手：
-  吴飚，简明量子力学（简洁明快的量子力学入门教程，即将由北京大学出版社出版，可先行阅读在线版本 http://www.phy.pku.edu.cn/~wubiao/pop_qm_pkupress.pdf）
-  Hidary, Jack D. Quantum Computing: An Applied Approach . Cham: Springer International Publishing, 2019. https://doi.org/10.1007/978-3-030-23922-0. （注重代码实操的量子计算教程，GitHub上有配套源码：https://github.com/JackHidary/quantumcomputingbook）

值得特别注意的是，尽管量子比特  可能的状态相当之多，但一旦我们对其进行观测，则其状态会立即坍缩 [2] 到  和  这两个基本状态中的一个，其概率分别为  和   。

例如，量子非门可以表述为 ，于是当我们将量子非门作用于基本态  时，我们得到 。量子门也可以作用在叠加态，例如 （这说明量子非门没能改变量子态 的状态。事实上，量子非门 相当于在布洛赫球面上将量子态绕 X 轴旋转 180 度。而 就在 X 轴上，所以没有变化）。量子与门和或门 [3] 由于涉及到多个量子位而稍显复杂，但同样可以通过尺寸更大的矩阵实现。

当我们将量子比特以及量子逻辑门按顺序标记在一条或多条平行的线条上时，就构成了量子线路（Quantum Circuit，或称量子电路）。例如，对于我们在上一节讨论的，使用量子非门  对基本态  进行变换的过程，我们可以写出量子线路如下：

接下来，我们考虑将上图中量子线路的量子非门  换为阿达马门  ：

阿达马门对应的矩阵表示为  ，于是我们可以计算出变换后的量子态为  。这是一个  和  的叠加态，在观测后会坍缩到基本态，其概率分别为  。也就是说，这个量子线路的观测结果类似于扔硬币。假若观测 20 次，则大约 10 次的结果是  ，10 次的结果是  。

import cirq

q = cirq.LineQubit(0)           # 实例化一个量子比特
simulator = cirq.Simulator()    # 实例化一个模拟器

X_circuit = cirq.Circuit(       # 建立一个包含量子非门和测量的量子线路
    cirq.X(q),
    cirq.measure(q)
)
print(X_circuit)                # 在终端可视化输出量子线路

# 使用模拟器对该量子线路进行20次的模拟测量
result = simulator.run(X_circuit, repetitions=20)
print(result)                   # 输出模拟测量结果

H_circuit = cirq.Circuit(       # 建立一个包含阿达马门和测量的量子线路
    cirq.H(q),
    cirq.measure(q)
)
print(H_circuit)
result = simulator.run(H_circuit, repetitions=20)
print(result)

0: ───X───M───
0=11111111111111111111
0: ───H───M───
0=00100111001111101100

   import tensorflow as tf
   import tensorflow_quantum as tfq
   import cirq

推荐阅读
Broughton, Michael, Guillaume Verdon, Trevor McCourt, Antonio J. Martinez, Jae Hyeon Yoo, Sergei V. Isakov, Philip Massey, et al. “ TensorFlow Quantum: A Software Framework for Quantum Machine Learning. (http://arxiv.org/abs/2003.02989) ” ArXiv:2003.02989 [Cond-Mat, Physics:Quant-Ph], March 5, 2020. （TensorFlow Quantum 白皮书）

以有监督学习为例，经典数据集由经典数据和标签组成。经典数据中的每一项是一个由不同特征组成的向量。我们可以将经典数据集写作  ，其中  。量子数据集同样由数据和标签组成，而数据中的每一项是一个量子态。以前节单量子比特的量子态为例，我们可以将每一项数据写作  。在具体实现上，我们可以通过量子线路来生成量子数据。也就是说，每一项数据  都对应着一个量子线路。例如，我们可以通过以下代码，使用 Cirq 生成一组量子数据：

   q = cirq.GridQubit(0, 0)
   q_data = []
   for i in range(100):
       x_i = cirq.Circuit(
           cirq.rx(np.random.rand() * np.pi)(q)
       )
       q_data.append(x_i)

在这一过程中，我们使用了一个带参数的量子门 cirq.rx(angle)(q) 。和之前我们使用的量子门 cirq.X(q) , cirq.H(q) 不同的是，这个量子门多了一个参数 angle ，表示将量子比特 q 绕布洛赫球面的 x 轴旋转 angle 角度（弧度制）。以上代码生成了 100 项量子数据，每项数据是从基本态  开始绕布洛赫球面的 x 轴随机旋转  弧度所变换而来的量子态。量子数据集在不少量子相关的领域（如化学、材料科学、生物学和药物发现等）都有应用。

当我们要将量子数据集作为 Keras 的输入时，可以使用 TensorFlow Quantum 的 convert_to_tensor 方法，将量子数据集转换为张量：

   q_data = tfq.convert_to_tensor(q_data)

   import sympy
   theta = sympy.Symbol('theta')
   q_model = cirq.Circuit(cirq.rx(theta)(q))

在上面的代码中，我们建立了如下图所示的量子线路。该量子线路可以将任意输入量子态  绕布洛赫球面的x轴逆时针旋转  度，其中  是使用 sympy.Symbol 声明的符号变量（即参数）。

通过 TensorFlow Quantum，我们可以轻松地将参数化的量子线路以 Keras 层的方式嵌入 Keras 模型。例如对于前节建立的参数化的量子线路 q_model ，我们可以使用 tfq.layers.PQC 将其直接作为一个 Keras 层使用。

   q_layer = tfq.layers.PQC(q_model, cirq.Z(q))
   expectation_output = q_layer(q_data_input)

   expectation_output = tfq.layers.PQC(q_model, cirq.Z(q))(q_data_input)

在以下代码中，我们首先建立了一个量子数据集，其中一半的数据项为基本态  绕布洛赫球面的 x 轴逆时针旋转  弧度（即  ），另一半则为  弧度（即  ）。所有的数据均加入了绕x,y轴方向旋转的，标准差为  的高斯噪声。对于这个量子数据集，如果不加变换而直接测量，则所有数据都会和抛硬币一样等概率随机坍缩到基本态  和  ，从而无法区分。

为了区分这两类数据，我们接下来建立了一个量子模型，这个模型将单比特量子态绕布洛赫球面的 x 轴逆时针旋转  弧度。变换过后量子态数据的测量值送入“全连接层+softmax”的经典机器学习模型，并使用交叉熵作为损失函数。模型训练过程会自动同时调整量子模型中  的值和全连接层的权值，使得整个混合量子-经典机器学习模型的准确度较高。

import cirq
import sympy
import numpy as np
import tensorflow as tf
import tensorflow_quantum as tfq

q = cirq.GridQubit(0, 0)

# 准备量子数据集(q_data, label)
add_noise = lambda x: x + np.random.normal(0, 0.25 * np.pi)
q_data = tfq.convert_to_tensor(
    [cirq.Circuit(
        cirq.rx(add_noise(0.5 * np.pi))(q),
        cirq.ry(add_noise(0))(q)
        ) for _ in range(100)] +
    [cirq.Circuit(
        cirq.rx(add_noise(1.5 * np.pi))(q),
        cirq.ry(add_noise(0))(q)
        ) for _ in range(100)]
)
label = np.array([0] * 100 + [1] * 100)

# 建立参数化的量子线路（PQC）
theta = sympy.Symbol('theta')
q_model = cirq.Circuit(cirq.rx(theta)(q))

# 建立量子层和经典全连接层
q_layer = tfq.layers.PQC(q_model, cirq.Z(q))
dense_layer = tf.keras.layers.Dense(2, activation=tf.keras.activations.softmax)

# 使用Keras建立训练流程。量子数据首先通过PQC，然后通过经典的全连接模型
q_data_input = tf.keras.Input(shape=() ,dtype=tf.dtypes.string)
expectation_output = q_layer(q_data_input)
classifier_output = dense_layer(expectation_output)
model = tf.keras.Model(inputs=q_data_input, outputs=classifier_output)

# 编译模型，指定优化器、损失函数和评估指标，并进行训练
model.compile(
    optimizer=tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=0.01),
    loss=tf.keras.losses.sparse_categorical_crossentropy,
    metrics=[tf.keras.metrics.sparse_categorical_accuracy]
)
model.fit(x=q_data, y=label, epochs=200)

# 输出量子层参数（即theta）的训练结果
print(q_layer.get_weights())

...
200/200 [==============================] - 0s 165us/sample - loss: 0.1586 - sparse_categorical_accuracy: 0.9500
[array([-1.5279944], dtype=float32)]

可见，通过训练，模型在训练集上可以达到95%的准确率，  。而当  时，恰好可以使得两种类型的数据分别接近基本态  和  ，从而达到最易区分的状态。