其中k是矩阵M中较大的部分奇异值的个数,一般会远远的小于用户数和物品数。如果要预测第i个用户对第j个物品的评分mij,则只需要计算uTiΣvj即可。通过这种方法,可以将评分表里面所有没有评分的位置得到一个预测评分。通过找到最高的若干个评分对应的物品推荐给用户。
可以看出这种方法简单直接,似乎很有吸引力。但是有一个很大的问题我们忽略了,就是SVD分解要求矩阵是稠密的,也就是说矩阵的所有位置不能有空白。有空白时M是没法直接去SVD分解的。如果这个矩阵是稠密的,那不就是说我们都已经找到所有用户物品的评分了嘛,那还要SVD干嘛! 的确,这是一个问题,传统SVD采用的方法是对评分矩阵中的缺失值进行简单的补全,比如用全局平均值或者用用户物品平均值补全,得到补全后的矩阵。接着可以用SVD分解并降维。
虽然有了上面的补全策略,传统SVD在推荐算法上还是较难使用。因为用户数和物品一般都是超级大,随便就成千上万了。这么大一个矩阵做SVD分解是非常耗时的。那么有没有简化版的矩阵分解可以用呢?我们下面来看看实际可以用于推荐系统的矩阵分解。