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用 Git 来讲讲二叉树最近公共祖先

labuladong • 3 年前 • 368 次点击  

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这是 labuladong 第 102 篇原创

如果说笔试的时候喜欢靠各种动归回溯的骚操作,面试其实最喜欢考比较经典的问题,难度不算太大,而且也比较实用。

上篇文章 我用四个命令,总结了 Git 的所有套路 写了 Git 最常用的命令,没有提分支合并,其实分支合并没什么困难的,主要就是mergerebase两种方式。本文就用 Git 的rebase工作方式引出一个经典的算法问题:最近公共祖先(Lowest Common Ancestor,简称 LCA)。

比如git pull这个命令,我们经常会用,它默认是使用merge方式将远端别人的修改拉到本地;如果带上上参数git pull -r,就会使用rebase的方式将远端修改拉到本地。

这二者最直观的区别就是:merge方式合并的分支会有很多「分叉」,而rebase方式合并的分支就是一条直线。

对于多人协作,merge方式并不好,举例来说,之前有很多朋友参加了在 GitHub 上的仓库翻译工作,GitHub 的 Pull Request 功能是使用merge方式,所以你看 fucking-algorithm 仓库的 Git 历史:

画面看起来很炫酷,但实际上我们并不希望出现这种情形的。你想想,光是合并别人的代码就这般群魔乱舞,如果说你本地还有多个开发分支,那画面肯定更杂乱,杂乱就意味着很容易出问题,所以一般来说,实际工作中更推荐使用rebase方式合并代码

那么问题来了,rebase是如何将两条不同的分支合并到同一条分支的呢:

上图的情况是,我站在dev分支,使用git rebase master ,然后就会把dev接到master分支之上。Git 是这么做的:

首先,找到这两条分支的最近公共祖先LCA,然后从master节点开始,重演LCAdev几个commit的修改,如果这些修改和LCAmastercommit有冲突,就会提示你手动解决冲突,最后的结果就是把dev的分支完全接到master上面。

那么,Git 是如何找到两条不同分支的最近公共祖先的呢?这就是一个经典的算法问题了,下面来详解。

二叉树的最近公共祖先

这个问题可以在 LeetCode 上找到,第 236 题,看下题目:

函数的签名如下:

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q);

root节点确定了一棵二叉树,pq是这这棵二叉树上的两个节点,让你返回p节点和q节点的最近公共祖先节点。

我们前文 学习数据结构和算法的框架思维 就说过了,所有二叉树的套路都是一样的:

void traverse(TreeNode root) {
    // 前序遍历
    traverse(root.left)
    // 中序遍历
    traverse(root.right)
    // 后序遍历
}

所以,只要看到二叉树的问题,先把这个框架写出来准没问题:

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
    TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
}

现在我们思考如何添加一些细节,把框架改造成解法。

labuladong 告诉你,遇到任何递归型的问题,无非就是灵魂三问

1、这个函数是干嘛的

2、这个函数参数中的变量是什么的是什么

3、得到函数的递归结果,你应该干什么

呵呵,看到这灵魂三问,你有没有感觉到熟悉?本号的动态规划系列文章,篇篇都在说的动态规划套路,首先要明确的是什么?是不是要明确「定义」「状态」「选择」,这仨不就是上面的灵魂三问吗?

下面我们就来看看如何回答这灵魂三问。

解法思路

首先看第一个问题,这个函数是干嘛的?或者说,你给我描述一下lowestCommonAncestor这个函数的「定义」吧。

描述:给该函数输入三个参数rootpq,它会返回一个节点。

情况 1,如果pq都在以root为根的树中,函数返回的即使pq的最近公共祖先节点。

情况 2,那如果pq都不在以root为根的树中怎么办呢?函数理所当然地返回null呗。

情况 3,那如果pq只有一个存在于root为根的树中呢?函数就会返回那个节点。

题目说了输入的pq一定存在于以root为根的树中,但是递归过程中,以上三种情况都有可能发生,所以说这里要定义清楚,后续这些定义都会在代码中体现。

OK,第一个问题就解决了,把这个定义记在脑子里,无论发生什么,都不要怀疑这个定义的正确性,这是我们写递归函数的基本素养。

然后来看第二个问题,这个函数的参数中,变量是什么?或者说,你描述一个这个函数的「状态」吧。

描述:函数参数中的变量是root,因为根据框架,lowestCommonAncestor(root)会递归调用root.leftroot.right;至于pq,我们要求它俩的公共祖先,它俩肯定不会变化的。

第二个问题也解决了,你也可以理解这是「状态转移」,每次递归在做什么?不就是在把「以root为根」转移成「以root的子节点为根」,不断缩小问题规模嘛?

最后来看第三个问题,得到函数的递归结果,你该干嘛?或者说,得到递归调用的结果后,你做什么「选择」?

这就像动态规划系列问题,怎么做选择,需要观察问题的性质,找规律。那么我们就得分析这个「最近公共祖先节点」有什么特点呢?刚才说了函数中的变量是root参数,所以这里都要围绕root节点的情况来展开讨论。

先想 base case,如果root为空,肯定得返回null。如果root本身就是p 或者q,比如说root就是p节点吧,如果q存在于以root为根的树中,显然root就是最近公共祖先;即使q不存在于以root为根的树中,按照情况 3 的定义,也应该返回root节点。

以上两种情况的 base case 就可以把框架代码填充一点了:

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    // 两种情况的 base case
    if (root == nullreturn null;
    if (root == p || root == q) return root;

    TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
    TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
}

现在就要面临真正的挑战了,用递归调用的结果leftright来搞点事情。根据刚才第一个问题中对函数的定义,我们继续分情况讨论:

情况 1,如果pq都在以root为根的树中,那么leftright一定分别是pq(从 base case 看出来的)。

情况 2,如果pq都不在以root为根的树中,直接返回null

情况 3,如果pq只有一个存在于root为根的树中,函数返回该节点。

明白了上面三点,可以直接看解法代码了:

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
    // base case
    if (root == nullreturn null;
    if (root == p || root == q) return root;

    TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
    TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
    // 情况 1
    if (left != null && right != null) {
        return root;
    }
    // 情况 2
    if (left == null && right == null) {
        return null;
    }
    // 情况 3
    return left == null ? right : left;
}

对于情况 1,你肯定有疑问,leftright非空,分别是pq,可以说明root是它们的公共祖先,但能确定root就是「最近」公共祖先吗?

这就是一个巧妙的地方了,因为这里是二叉树的后序遍历啊!前序遍历可以理解为是从上往下,而后序遍历是从下往上,就好比从pq出发往上走,第一次相交的节点就是这个root,你说这是不是最近公共祖先呢?

综上,二叉树的最近公共祖先就计算出来了。

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