Python 进阶视频课 - 6. SciPy 下

这是 Python 进阶课的第六节 - SciPy 下，进阶课的目录如下：

之前基础版的 11 节的目录如下：

上节主要从插值、数值积分和优化三大功能介绍 scipy，下节从有限差分和线性回归两大功能来介绍 scipy。

偏微分方程有限差分 (finite difference, FD) 算是金融工程中比较难学的，但我会讲里面所有难懂的概念可视化出来。下图可是我用 matplotlib 写代码画出 (敢问谁会这么用心来这么做) 用 FD 求解 PDE 所了解的核心元素：

网格：空间维度的 S (对应标的资产价格)，时间维度的 t (对应衍生品到期日)
终止条件：任何金融产品都是支付函数，可设为 PDE 的终止条件
边界条件：很多金融产品的支付在标的很大或很小时会确定比如看涨期权

在标的为零时支付为零
在标的很大时近似为一个远期。

求解格式：完全显式 (explicit)、完全隐式 (implicit) 和克莱克尼克尔森 (Crank-Nicolson)

在求解 PDE 时，我只说五句话，配着下面的图 (也是用 matpplotlib 写代码画的)。

水平面上的灰点是网格
红线是终值条件 (产品在到期日支付函数)
两条深青线是边界条件 (产品在标的上下界时的支付)

蓝点是期权值 (产品在 0 时点的值)
从 T4 到 T0 一步步解的 (从后往前解)

以上步骤弄明白了，要得到更精确的值，需要把 S 和 t 轴上的点打的更密就完事了，你看，其他书讲的很难懂的 PDE FD 我用几张简图可视化一下就好懂多了吧。

FD 对于定价标的少于 4 个的金融衍生品是个很好的方法：

高效：和蒙特卡洛方法比快很多
稳定：和蒙特卡洛方法比稳很多
普适：对于不同产品整个求解过程几乎一样，不同的就是设定不同的上下界、终止条件和边界条件。

在 PDE FD 中用到了稀疏矩阵 (sparse matrix)，这个算是 SciPy 中最有内容的知识点之一。和稠密矩阵相比，稀疏矩阵的最大好处就是节省大量的内存空间来储存零。稀疏矩阵本质上还是矩阵，只不过多数位置是空的，那么存储所有的 0 非常浪费。稀疏矩阵的存储机制有很多种 (列出常用的五种)：

COO (Coordinate List Format)：座标格式，容易创建但是不便于矩阵计算，用 coo_matrix
CSR (Compressed Sparse Row)： 压缩行格式，不容易创建但便于矩阵计算，用 csr_matri
CSC (Compressed Sparse Column)： 压缩列格式，不容易创建但便于矩阵计算，用 csc_matrix
LIL (List of List): 内嵌列表格式，支持切片但也不便于矩阵计算，用 lil_matrix
DIA (Diagnoal)：对角线格式，适合矩阵计算，用 dia_matrix

五种稀疏矩阵的动图如下：

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