现在情况已经改变。随着机器学习的出现,应用数学的所有主要组成部分现在都已就位。这意味着应用数学终于成为一门成熟的学科。尽管新的方向将会继续出现,但是有理由相信基础的部分会基本保持不变。这些基础是:(基于第一性原理的)建模,学习和算法。
8.1 应用数学的主要组成部分
代数,分析,几何和拓扑构成了纯数学的主要组成部分。物理学的主要组成部分是经典力学,统计力学,电磁学和量子力学。那应用数学的主要组成部分是什么?以下是一个建议。这并不是对这个问题的最终结论,而是进一步讨论的起点。
应用数学有三个主要组成部分。
1. 基于第一性原理的建模,其中包括(物理)模型本身以及针对这些模型的分析工具。简而言之,前者与物理学有关,后者与微分方程有关。
关于物理模型,我们需要了解物理场景(例如应该用经典理论还是量子理论,惯性主导还是过阻尼),变分原理,守恒律等。
这些第一性原理是用变分问题或微分方程来表述的。因此,我们需要分析工具来处理这些数学问题。渐近方法可以快速抓住问题的本质,并帮助我们建立必需的洞察力。数学定理不但可以帮助我们理解背后的物理问题,还有助于把事情建立在坚实的基础上。
2. 数据分析方法。最重要的部分是机器学习,但也包括统计和数据处理,如图像处理、信号处理。
3. 算法。包括针对第一性原理的算法和针对数据的算法。幸运的是,这两个领域的算法有很多共同点。一个例子是优化算法。优化算法不仅在机器学习领域起着至关重要的作用,许多基于第一性原理的模型被表述为变分问题,它们也需要优化算法。
8.2 课程和教育
大多数(如果不是全部)一流大学都有相当成熟的纯数学本科和研究生课程,但很少有成熟的应用数学课程。更糟糕的是,有些时候应用数学课程是作为一套技巧来讲授的,而不是一门统一的学科。一个例子是“数学建模”课程。尽管这应该是一门应用数学的入门课程,但它通常讲授的只是一些例子,而缺乏整体观。缺乏成熟的应用数学本科课程体系是应用数学发展的一个最重要的障碍,因为它阻碍了我们吸引年轻人才。
在应用数学的主要组成部分变得明确之后,我们现在可以为应用数学设计统一的课程。该课程以上面讨论的三个主要组成部分为核心。我们将逐个简要讨论。
建模包括两个部分:模型的物理原理和分析这些模型的数学工具。前者教给数学家基础物理知识。后者是应用分析,包括常微分方程和偏微分方程,变分法,概率论,渐近分析和随机分析。两者都可以被一个一年的课程所涵盖。
学习包括机器学习,数据处理和统计。现在已经有一些适合应用数学家的数据处理和统计课程。机器学习的情况有所不同。目前它通常是以适合计算机科学家的方式讲授的。我们需要一种教数学家机器学习的方法,就像我们需要一种教数学家物理的办法一样。但从数学观点看机器学习还不是一个成熟的学科。不过这种情况正在迅速改善。相信不久的将来就会出现一个从数学的角度讲授机器学习的课程,并且它可以作为一学期的课程来讲授。
算法包括两部分:连续对象的算法和离散对象的算法。前者由数学系提供的数值分析课程所涵盖。后者由通常在计算机科学系讲授的算法/离散数学课程所涵盖。机器学习把这两个部分融合在一起。因此我们应该以一种更统一的方式来讲授算法课。
开设这些课程将花费大量的精力,但是为此付出努力是值得的。相信我们也有能力实现这一目标。