一、Python的矩阵传播机制(Broadcasting) 我们知道在深度学习中经常要操作各种矩阵(matrix) 。
回想一下,我们在操作数组(list)的时候,经常习惯于用**for循环(for-loop)**来对数组的每一个元素进行操作。例如:
my_list = [1,2,3,4] new_list = []for each in my_list: new_list.append(each*2)print (new_list) # 输出 [2,3,4,5]
如果是矩阵 呢:
my_matrix = [[1,2,3,4], [5,6,7,8]] new_matrix = [[],[]]for i in range(2): for j in range(4): new_matrix[i].append(my_matrix[i][j]*2)print (new_matrix)# 输出 [[2, 4, 6, 8], [10, 12, 14, 16]]
实际上,上面的做法是十分的低效 的!数据量小的话还不明显,如果数据量大了,尤其是深度学习中我们处理的矩阵往往巨大,那用for循环去跑一个矩阵,可能要你几个小时甚至几天。
Python考虑到了这一点,这也是本文主要想介绍的**“Python的broadcasting”即 传播机制**。
先说一句,python中定义矩阵、处理矩阵,我们一般都用numpy这个库。
二、下面展示什么是python的传播机制 import numpy as np# 先定义一个3×3矩阵 A: A = np.array( [[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]) print ("A:\n" ,A)print ("\nA*2:\n" ,A*2) # 直接用A乘以2 print ("\nA+10:\n" ,A+10) # 直接用A加上10
运行结果:
A: [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] A*2: [[ 2 4 6] [ 8 10 12] [14 16 18]] A+10: [[11 12 13] [14 15 16] [17 18 19]]
接着,再看看矩阵×(+)矩阵:
#定义一个3×1矩阵(此时也可叫向量了) B = np.array([[10], [100], [1000]]) print ("\nB:\n" ,B)print ("\nA+B:\n" ,A+B) print ("\nA*B:\n" ,A*B)
运行结果:
B: [[ 10] [ 100] [1000]] A+B: [[ 11 12 13] [ 104 105 106] [1007 1008 1009]] A*B: [[ 10 20 30] [ 400 500 600] [7000 8000 9000]]
可见,虽然A和B的形状不一样,一个是3×3,一个是3×1,但是我们在python中可以直接相加、相乘,相减相除也可以。
也许看到这,大家都对broadcasting有感觉了。
用一个图来示意一下:
所谓“传播”,就是把一个数或者一个向量进行“复制”,从而作用到矩阵的每一个元素上 。
有了这种机制,那进行向量和矩阵的运算,就太方便了!理解了传播机制,就可以随心所欲地对矩阵进行各种便捷的操作了。
利用numpy的内置函数对矩阵进行操作: numpy内置了很多的数学函数,例如np.log(),np.abs(),np.maximum()等等上百种。直接把矩阵丢进去,就可以算出新矩阵! 示例:
print (np.log(A))
输出把A矩阵每一个元素求log后得到的新矩阵:
array([[0. , 0.69314718, 1.09861229], [1.38629436, 1.60943791, 1.79175947], [1.94591015, 2.07944154, 2.19722458]])
再比如深度学习中常用的ReLU激活函数,就是y=max(0,x),
图片 也可以对矩阵直接运算:
X = np.array([[1,-2,3,-4], [-9,4,5,6]])Y = np.maximum(0,X)print (Y)
得到:
[[1 0 3 0] [0 4 5 6]]
更多的numpy数学函数,可以参见文档:https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.13.0/reference/routines.math.html
三、定义自己的函数来处理矩阵 其实这才是我写下本文的目的。。。前面扯了这么多,只是做个铺垫(/ω\ )
我昨天遇到个问题,就是我要对ReLU函数求导,易知,y=max(0,x)的导函数是:y’ = 0 if x<0
y’ = 1 if x>0
但是这个y’(x)numpy里面没有定义,需要自己构建。即,我需要将矩阵X中的小于0的元素变为0,大于0的元素变为1 。搞了好久没弄出来,后来在StackOverflow上看到了解决办法:
def relu_derivative(x): x[x<0] = 0 x[x>0] = 1 return x X = np.array([[1,-2,3,-4], [-9,4,5,6]])print (relu_derivative(X))
输出:
[[1 0 1 0] [0 1 1 1]]
**居然这么简洁就出来了!!!**ミ゚Д゚彡 (゚Д゚#)
这个函数relu_derivative中最难以理解的地方,就是**x[x>0]**了。于是我试了一下:
X = np.array([[1,-2,3,-4], [-9,4,5,6]])print (X[X>0])print (X[X<0])
输出:
[1 3 4 5 6] [-2 -4 -9]
它直接把矩阵X中满足条件的元素取了出来!原来python对矩阵还有这种操作!
震惊了我好久~
所以可以这么理解,X[X>0]相当于一个“选择器”,把满足条件的元素选出来 ,然后直接全部赋值。
用这种方法,我们便可以定义各种各样我们需要的函数,然后对矩阵整体进行更新操作了!
四、综上 可以看出,python以及numpy对矩阵的操作简直神乎其神,方便快捷又实惠。其实上面忘了写一点,那就是计算机进行矩阵运算的效率要远远高于用for-loop来运算 ,
不信可以用跑一跑:
# vetorization vs for loop # define two arrays a, b: a = np.random.rand(1000000) b = np.random.rand(1000000)# for loop version: t1 = time.time() c = 0for i in range(1000000): c += a[i]*b[i] t2 = time.time()print (c)print ("for loop version:" +str(1000*(t2-t1))+"ms" ) time1 = 1000*(t2-t1)# vectorization version: t1 = time.time() c = np.dot(a,b) t2 = time.time()print (c)print ("vectorization version:" +str(1000*(t2-t1))+"ms" ) time2 = 1000*(t2-t1)
print ("vectorization is faster than for loop by " +str(time1/time2)+" times!" )
运行结果:
249765.8415288075for loop version:627.4442672729492ms 249765.84152880745 vectorization version:1.5032291412353516ms vectorization is faster than for loop by 417.39762093576525 times !
可见,用for方法和向量化方法,计算结果是一样,但是后者比前者快了400多倍!
因此,在计算量很大的时候,我们要尽可能想办法对数据进行Vectorizing,即“向量化” ,以便让计算机进行矩阵运算。
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