所谓马丁格尔（Martingale）策略是在某个赌盘里，当每次「输钱」时就以2 的倍数再增加赌金，直到赢钱为止。假设在一个公平赌大小的赌盘，开大与开小都是50% 的概率，所以在任何一个时间点上，我们赢一次的概率是50%，连赢两次的概率是25%，连赢三次的概率12.5%，连赢四次的概率6.25%，以此类推。同样，连输的概率也是这样的。于是，交易上，很多人尝试马丁格尔式的金字塔加仓法来进行交易。那么马丁格尔策略是否可以增加交易者的收益？
在这篇博客中，我们将通过以下主题来关注马丁格尔及其在交易策略中的应用。扫描本文最下方二维码获取全部完整源码、CSV数据文件和Jupyter Notebook 文件打包下载。
「什么是马丁格尔？」
随机变量是一个未知的值或一个函数，它在每个可能的试验中都取一个特定的值。它可以是离散的，也可以是连续的。下面我们考虑离散随机变量来解释马丁格尔。
马丁格尔是一个随机变量M1, M2, M3...Mn的序列，其中
E[Mn+1|Mn] = Mn, n -> 0, 1, ..., n+1 (1)
而E [|Mn+1|] < ∞，
读作Mn+1的期望值，因为Mn的值等于Mn，即期望值保持不变。
对于一个随机变量，不同的值x1、x2、x3，各自的概率为p1、p2和p3，其期望值的计算方法为：
E[M] = x1 * p1 + x2 * p2 + x3 * p3，更简单地说，期望值与算术平均值相同。
注意：马丁格尔总是针对一些信息集和一些概率测量来定义。如果信息集或与过程相关的概率发生变化，该过程可能不再是马丁格尔了。
「马丁格尔是如何工作的？」
考虑一个简单的游戏，你抛出一枚公平的硬币，如果结果是正面，你就赢得一美元，如果是反面，你就失去一美元。
在这个游戏中，正面或背面的概率总是一半。所以，赢的平均值等于1/2（1）+1/2（-1）=0，这意味着你不能通过玩若干轮游戏来系统地赚取任何额外的钱（尽管随机收益或损失仍然是可能的）。
因此，上述情况满足马丁格尔属性，即在任何特定回合中，无论前几回合的结果如何，你的总收入预期都会保持不变。
「马丁格尔中的条件期望值」
马丁格尔定义中方程（1）左侧的表达式被称为 "条件期望"。条件期望值（也称为条件平均数）是在一组先决条件发生后计算的平均数。
随机变量X相对于变量Z的条件期望被定义为一个（新）随机变量Y=E(X|Z)
「马丁格尔交易策略」
马丁格尔交易策略是在亏损的交易中加倍你的风险或投资规模。由于你的预期长期回报仍然是相同的（价格下跌时亏损，价格上涨时收益），这种策略可以通过在价格下跌时买入点位，降低你的平均进场价格来实现。因此，即使在一系列亏损的交易之后，如果发生了盈利的交易，它就会挽回所有的损失，包括最初的交易金额，因为它的利润是2^p=∑ 2^p-1+1。
马丁格尔法的优点和缺点。优点之一是，由于交易者在每笔亏损的交易后将投资规模加倍，该策略有助于挽回损失并产生利润，提高净收益。而主要的缺点是，你在增加投资规模时没有止损限制。
注意：如果破产，你可能会损失你的全部资本，或者导致资本缩减，需要额外的资本，如果赔率在长期内没有改善，你会不断地输。
「什么是反马丁格尔？」
在反马丁格尔策略中，当价格向有利可图的方向移动时，投资规模增加一倍，当出现损失时，投资规模减少一半。这样做的目的是希望股票在趋势中继续上涨，这在势头驱动的市场中是可行的。
反马丁格尔策略的优点和缺点。反马丁格尔策略的主要优点是在不利条件下风险最小，因为交易量在损失时不会增加。尽管有优势，但如果出现长时间的亏损交易，反马丁格尔也不会带来利润。因此，进场信号应准确计算，以避免损失覆盖所获利润。
在下一节，我们将在Python中建立马丁格尔和反马丁格尔策略。
「用 Python 实现马丁格尔与反马丁格尔交易策略」
我们使用了超过6个月的苹果公司股票（AAPL）调整后的收盘价数据。这个数据是从雅虎金融网站上提取的，并存储在一个csv文件中。
「读取股票数据」
已下载AAPL的2019年半年度（7月至12月）调整后的收盘价数据如下：
# Import the libraries , !pip install "library" for first time installing
import numpy as np, pandas as pd
!pip install pyfolio
import pyfolio as pf
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.style.use('seaborn-darkgrid')
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10,7)
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
# Load AAPL stock csv data and store to a dataframe
df = pd.read_csv("AAPL.csv")
df = df.rename(columns={'Adj_Close': 'price'})
# Convert Date into Datetime format
df['Date'] = pd.to_datetime(df['Date'])
df.fillna(method='ffill', inplace=True)
# Set date as the index of the dataframe
df.set_index('Date',inplace=True)
df.head()
# Create a copy of two dataframes for the trading strategies
df_mg = df.copy()
df_anti_mg = df.copy()
「简单的马丁格尔策略」
马丁格尔交易策略是在亏损的交易中加倍你的交易量。
我们从AAPL的一只股票开始，在亏损的交易中把交易量或数量翻倍。构建策略时，将获胜的交易视为比前一收盘价增加2%，将失败的交易视为比前一收盘价减少2%。
# Create column for previous price
df_mg['prev_price'] = df_mg['price'].shift(1)
# Generate buy and sell signal for price increase and decrease respectively. And create consolidated 'signal' column by addition of both buy and sell signals
df_mg['long_signal'] = np.where(df_mg['price'] > 1.02*df_mg['prev_price'], 1, 0)
df_mg['short_signal'] = np.where(df_mg['price'] < .98*df_mg['prev_price'], -1, 0)
df_mg['signal'] = df_mg['short_signal'] + df_mg['long_signal']
df_mg.head()
# Initialise 'quantity' column
df_mg['quantity'] = 0
# Start with 1 stock, long position
df_mg['signal'].iloc[0] = 1
# Strategy to double the trade volume or quantity on losing trades
for i in range(df_mg.shape[0]):
if i == 0:
df_mg['quantity'].iloc[0] = 1
else:
if df_mg['signal'].iloc[i] == 1:
df_mg['quantity'].iloc[i] = df_mg['quantity'].iloc[i-1]
if df_mg['signal'].iloc[i] == -1:
df_mg['quantity'].iloc[i] = df_mg['quantity'].iloc[i-1]*2
if df_mg['signal'].iloc[i] == 0:
df_mg['quantity'].iloc[i] = df_mg['quantity'].iloc[i-1]
df_mg.head()
# Calculate returns
df_mg['returns'] = ((df_mg['price'] - df_mg['prev_price'])/ df_mg['price'])*df_mg['quantity']
# Cumulative strategy returns
df_mg['cumulative_returns'] = (df_mg.returns+1).cumprod()
# Plot cumulative returns
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_mg.cumulative_returns)
plt.grid()
# Define the label for the title of the figure
plt.title('Cumulative Returns for Martingale strategy', fontsize=16)
# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Date', fontsize=14)
plt.ylabel('Cumulative Returns', fontsize=14)
# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)
plt.show()
# Plot position
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_mg.quantity)
plt.grid()
# Define the label for the title of the figure
plt.title('Position sizing', fontsize=16)
# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Price', fontsize=14)
plt.ylabel('Quantity', fontsize=14)
# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)
plt.show()
注意：我们可以从上图中注意到，交易量或数量以指数形式增加，累计收益也随之增加。但在这种情况下，我们可能会耗尽资本来加倍仓位，从而导致破产。
「简单的反马丁格尔策略」
反马丁格尔策略是在获胜的交易中把交易量翻倍，在失败的交易中把交易量减半。
与上述马丁格尔策略类似，我们从AAPL的一只股票开始，在获胜的交易中把交易量或数量增加一倍，在失败的交易中把交易量或数量减少一半。该策略的建立是考虑到盈利的交易是2%的增长，而失败的交易是在前一个收盘价的基础上减少2%。
# This step before deciding trade size is same as the above martingale strategy
# Create column for previous price
df_anti_mg['prev_price'] = df_anti_mg['price'].shift(1)
# Generate buy and sell signal for price increase and decrease respectively. And create consolidated 'signal' column by addition of both buy and sell signals
df_anti_mg['long_signal'] = np.where(df_anti_mg['price'] > 1.02*df_anti_mg['prev_price'], 1, 0)
df_anti_mg['short_signal'] = np.where(df_anti_mg['price'] < .98*df_anti_mg['prev_price'], -1, 0)
df_anti_mg['signal'] = df_anti_mg['short_signal'] + df_anti_mg['long_signal']
df_anti_mg.head()
# Intialise 'quantity' column
df_anti_mg['quantity'] = 0
# Start with $10,000 cash long position
cash = 10000
df_anti_mg['signal'].iloc[0] = 1
# Strategy to double the trade volume or quantity on losing trades
for i in range(df_anti_mg.shape[0]):
if i == 0:
df_anti_mg['quantity'].iloc[0] = 1
else:
if df_anti_mg['signal'].iloc[i] == 1:
df_anti_mg['quantity'].iloc[i] = df_anti_mg['quantity'].iloc[i-1]*2
if df_anti_mg['signal'].iloc[i] == -1:
df_anti_mg['quantity'].iloc[i] = df_anti_mg['quantity'].iloc[i-1]/2
if df_anti_mg['signal'].iloc[i] == 0:
df_anti_mg['quantity'].iloc[i] = df_anti_mg['quantity'].iloc[i-1]
df_anti_mg.head()
# Calculate returns
df_anti_mg['returns'] = ((df_anti_mg['price'] - df_anti_mg['prev_price'])/ df_anti_mg['prev_price'])*df_anti_mg['quantity']
# Cumulative strategy returns
df_anti_mg['cumulative_returns'] = (df_anti_mg.returns+1).cumprod()
# Plot cumulative returns
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_anti_mg.cumulative_returns)
plt.grid()
# Define the label for the title of the figure
plt.title('Cumulative Returns for Anti-Martingale strategy', fontsize=16)
# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Date', fontsize=14)
plt.ylabel('Cumulative Returns', fontsize=14)
# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)
plt.show()
# Plot position
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(df_anti_mg.quantity)
plt.grid()
# Define the label for the title of the figure
plt.title('Position sizing', fontsize=16)
# Define the labels for x-axis and y-axis
plt.xlabel('Date', fontsize=14)
plt.ylabel('Quantity', fontsize=14)
# Define the tick size for x-axis and y-axis
plt.xticks(fontsize=12)
plt.yticks(fontsize=12)
plt.show()
标准马丁格尔在长期内会导致高度可变的结果，因为它可能会遇到指数级增长的损失。而反马丁格尔的回报分布明显更平坦，方差更小，因为它减少了损失的风险，而增加了利润的风险。考虑到这一点，我们看到大多数成功的交易者倾向于遵循反马丁格尔策略，因为与马丁格尔策略相比，他们被认为在连胜期间增加投资规模的风险较小。
「总结」
在这篇文章中，我们首先通过条件期望值的概念了解了马丁格尔的直观含义。接下来，我们学习了马丁格尔策略的类型。在马丁格尔交易策略下，交易规模或数量在亏损的交易中翻倍，通过后面的盈利交易来弥补亏损并产生利润。在反马丁格尔交易策略中，交易规模或数量在亏损的交易中减半，在盈利的交易中翻倍。我们还了解了可能适合这两种策略的市场条件。最后，我们用Python实现了马丁格尔和反马丁格尔交易策略。
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