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【机器学习笔记】:大话线性回归(二)

数据分析1480 • 5 年前 • 912 次点击  

作者 | xiaoyu

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介绍 | 一个半路转行的数据挖掘工程师


前一篇文章给大家介绍了线性回归的模型假设,损失函数,参数估计,和简单的预测。具体内容请看下面链接:【机器学习笔记】:大话线性回归(一)


但其实还有很多问题需要我们解决:这个模型的效果如何?如何评判这个效果?开始线性模型的假设成立吗?如何验证这些假设?还会有其它问题会影响模型效果吗?带着这些问题我们开始本篇的内容。


  • 线性回归拟合优度

  • 线性回归假设检验

  • 线性回归诊断


▌线性回归拟合优度


1. 判定系数


回归直线与各观测点的接近程度成为回归直线对数据的拟合优度。而评判直线拟合优度需要一些指标,其中一个就是判定系数


我们知道,因变量y值有来自两个方面的影响:

(1)来自x值的影响,也就是我们预测的主要依据

(2)来自无法预测的干扰项ϵ影响


如果一个回归直线预测非常准确,那么它就需要让来自x的影响尽可能的大,而让来自无法预测干扰项的影响尽可能的小,也就是说x影响占比越高,预测效果就越好。下面我们看一下如何定义这些影响,并形成指标。


  • SST(总平方和):变差总平方和

  • SSR(回归平方和):由x与y之间的线性关系引起的y变化

  • SSE(残差平方和):除x影响之外的其它因素引起的y变化

它们之间的关系是:根据我们前面的分析,SSR越高,则代表回归预测越准确,观测点越是靠近直线,也即越大,直线拟合越好。因此,判定系数的定义就自然的引出来了,我们一般称为R2




还是用上篇的数据为例,利用R2来测试一下拟合的效果是怎么样的。




    
def R2square(yArr,y_hat):
    n = len(yArr)
    yArr = np.array(yArr).reshape(n,1)
    y_hat = np.array(y_hat).reshape(n,1)
    # ssr
    diff_yhat = y_predict - np.mean(yArr)
    ssr = np.sum(np.power(diff_yhat,2))
    # sst
    diff_y = yArr - np.mean(yArr)
    sst = np.sum(np.power(diff_y,2))
    return round(ssr/sst,2)
R2square(yArr,y_predict)
>>0.97


可以看到最后的得分是0.97,说明拟合程度还是很不错的。


2. 估计标准误差
判定系数R2的意义是由x引起的影响占总影响的比例来判断拟合程度的。当然,我们也可以从误差的角度去评估,也就是用残差SSE进行判断。估计标准误差是均方残差的平方根,可以度量各实际观测点在直线周围散布的情况。


估计标准误差与判定系数相反,se反映了预测值与真实值之间误差的大小,se越小说明拟合度越高,相反,se越大说明拟合度越低。仍然用之前的数据集进行测试:

def MSEsqrt(yArr,y_hat):
    n = len(yArr)
    yArr = np.array(yArr).reshape(n,1)
    y_hat = np.array(y_hat).reshape(n,1)
    diff = yArr - y_predict
    # sse
    sse = np.sum(np.power(diff,2))
    return round(np.sqrt(sse/(n-2)),2)

MSEsqrt(yArr,y_predict)
>>0.08


可以看到,平均的标准误差只有0.08,非常低,说明了拟合效果很不错,同时也证实了R2结果的正确性。


▌线性回归的显著性检验


要想知道我们根据样本拟合的模型是否可以有效地预测或估计,我们需要对拟合的模型进行显著性检验回归分析中的显著性检验主要包括两方面内容:线性关系检验;回归系数检验


1. 线性关系检验


线性关系检验是指多个自变量x和因变量y之间的线性关系是否显著,它们之间是否可以用一个线性模型表示。检验统计量使用F分布,其定义如下:

SSR的自由度为:自变量的个数k

SSE的自由度为:n-k-1


利用F统计量,线性关系检验的一般步骤为:

(1)提出原假设和备择假设


(2)计算检验的统计量F

(2)作出统计决策

与假设检验相同,如果给定显著性水平α,则根据两个自由度k和n-k-1进行F分布的查表。若则拒绝原假设,说明发生了小概率事件,若则不拒绝原假设。当然,我们也可以直接通过观察P值来决定是否拒绝原假设。


通过上面步骤的假设,我们也看到了:在多元线性回归中,只要有一个自变量系数不为零(即至少一个自变量系数与因变量有线性关系),我们就说这个线性关系是显著的。如果不显著,说明所有自变量系数均为零。


2. 回归系数检验


回归系数的显著性检验与线性检验不同,它要求对每一个自变量系数进行检验,然后通过检验结果可判断出自变量是否显著。因此,我们可以通过这种检验来判断一个特征(自变量)的重要性,并对特征进行筛选。检验统计量使用t分布,步骤如下:


(1)提出原假设和备择假设

对于任意参数有:

(2)计算检验统计量t

(3)作出统计决策

如前面一样,我们需要根据自由度n-k-1查t分布表,并通过α或者p值判断显著性。


3. Python代码实现


下面通过一段代码来说明上面两种显著性检验,为了方便我们直接通过statsmodels模型引入ols模型进行回归拟合,然后查看总结表,其中包括F和t统计量结果


import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm

# 创建线性回归最小二乘法模型
model = sm.OLS(yArr,xArr)
results = model.fit()
results.summary()

通过上面结果我们清楚看到:

  • F统计量的p值非常小,拒绝原假设,说明线性关系显著

  • 两个回归系数的t统计量p值均为0,拒绝原假设,说明回归系数也都显著


▌线性回归的诊断


线性回归的诊断包括很多内容,比较重要的几个有:

(1)残差分析

(2)线性相关性检验

(3)多重共线性分析

(4)强影响点分析


下面我们开始分别介绍这几个需要诊断的内容。


残差分析


还记得我们的模型是怎么来的吗?没错,线性回归模型是基于一些假设条件的:除了自变量和因变量有线性相关关系外,其它假设基本都是关于残差的,主要就是残差ϵ独立同分布,服从


总结一下关于残差有三点假设:(1)正态性检验;(2)独立性检验;(3)方差齐性检验。下面我们将对这些假设逐一诊断,只有假设被验证,模型才是成立的。


1. 正态性检验

干扰项(即残差),服从正态分布的本质是要求因变量服从变量分布。因此,验证残差是否服从正态分布就等于验证因变量的正态分布特性。关于正态分布的检验通常有以下几种方法。

(1)直方图法:

直方图法就是根据数据分布的直方图与标准正态分布对比进行检验,主要是通过目测。比如本例中我们的直方图可以这样显示出来:

residual = results.resid
sns.distplot(residual,
             bins = 10,
             kde = False,
             color = 'blue',
             fit = stats.norm)
plt.show()

通过目测,我们发现残差的数据分布并不是很好的服从正态分布,因此这里是不满足假设条件的。


(2)PP图和QQ图:

PP图是对比正态分布的累积概率值和实际分布的累积概率值。statsmodels中直接提供了该检测方法:




    
# pp图法
pq = sm.ProbPlot(residual)
pq.ppplot(line='45')

QQ图通过把测试样本数据的分位数与已知分布相比较,从而来检验数据的分布情况。对应于正态分布的QQ图,就是由标准正态分布的分位数为横坐标,样本值为纵坐标的散点图。同样的,我们通过一段代码来观察一下:

# qq图法
pq = sm.ProbPlot(residual)
pq.qqplot(line='q')

pp图和qq图判断标准是:如果观察点都比较均匀的分布在直线附近,就可以说明变量近似的服从正态分布,否则不服从正态分布。


从pp图和qq图可以看出,样本点并不是十分均匀地落在直线上,有的地方有一些较大的偏差,因此判断不是正态分布。


(3)Shapiro检验:

这种检验方法均属于非参数方法,先假设变量是服从正态分布的,然后对假设进行检验。一般地数据量低于5000则可以使用Shapiro检验,大于5000的数据量可以使用K-S检验,这种方法在scipy库中可以直接调用:

shapiro检验
import scipy.stats as stats
stats.shapiro(residual)

out:
(0.9539670944213867, 4.640808128e-06)


上面结果两个参数:第一个是Shaprio检验统计量值,第二个是相对应的p值。可以看到,p值非常小,远远小于0.05,因此拒绝原假设,说明残差不服从正态分布。


同样的方法还有KS检验,也可以直接通过scipy调用进行计算。


2. 独立性检验

残差的独立性可以通过Durbin-Watson统计量(DW)来检验。

原假设:p=0(即前后扰动项不存在相关性

背责假设:(即近邻的前后扰动项存在相关性)

DW统计量公式如下:

判断标准是:

p=0,DW=2:扰动项完全不相关

p=1,DW=0:扰动项完全正相关

p=-1,DW=4:扰动项完全负相关


在我们前面使用的statsmodels结果表中就包含了DW统计量:


DW值为2.192,说明残差之间是不相关的,也即满足独立性假设。


3. 方差齐性检验

如果残差随着自变量增发生随机变化,上下界基本对称,无明显自相关,方差为齐性,我们就说这是正常的残差。判断方差齐性检验的方法一般有两个:图形法,BP检验


(1)图形法

图形法就是画出自变量与残差的散点图,自变量为横坐标,残差为纵坐标。下面是残差图形的代码:

# 图形法
var1 = np.array(xArr)[:,1]
plt.scatter(np.array(xArr)[:,1], residual)
plt.hlines(y = 0,
           xmin = np.min(var1),
           xmax = np.max(var1),
          color = 'red',
          linestyles = '--')
plt.xlabel('var0')
plt.ylabel('residual')
plt.show()

图形法可以看出:残差的方差(即观察点相对红色虚线的上下浮动大小)不随着自变量变化有很大的浮动,说明了残差的方差是齐性的。


如果残差方差不是齐性的,有很多修正的方法,比如加权最小二乘法,稳健回归等,而最简单的方法就是对变量取自然对数。而取对数从业务上来说也是有意义的,解释变量和被解释变量的表达形式不同,对回归系数的解释也不同。下面是不同转换情况下的解释:



对数转换后的效果可以通过R2或者修改R2的结果比对得出,如果方差通过取对数变换变成齐性,那么它的R2应该比变换之前数值高,即会取得更好的效果。


(2)BP检验法


这种方法也是一种假设检验的方法,其原假设为:残差的方差为一个常数,然后通过计算LM统计量,判断假设是否成立。在statsmodels中也同样有相应的方法可以实现BP检查方法。

BP检验
sm.stats.diagnostic.het_breuschpagan(residual,results.model.exog)

out:
(0.16586685109032384,
 0.6838114989412791,
 0.1643444790856123,
 0.6856254489662914)


上述参数:

第一个为:LM统计量值

第二个为:响应的p值,0.68远大于显著性水平0.05,因此接受原假设,即残差方差是一个常数

第三个为:F统计量值,用来检验残差平方项与自变量之间是否独立,如果独立则表明残差方差齐性

第四个为: F统计量对应的p值,也是远大于0.05的,因此进一步验证了残差方差的齐性。



以上就是残差分析的主要内容,对于线性回归诊断还有其余的线性相关性检验,多重共线性分析,强影响点分析三部分重要内容,将在下一篇进行介绍,完整代码在知识星球中


参考:

统计学,贾俊平

计量经济学导论,伍德里奇

从零开始学Python数据分析与挖掘,刘顺祥

Python数据科学技术详解与商业实践,常国珍



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