机器学习实战 | 朴素贝叶斯

朴素贝叶斯算法（Naive Bayes）是机器学习中常见的基本算法之一，主要用来做分类任务的。它是基于贝叶斯定理与条件独立性假设的分类方法。对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立性假设学习输入/输出的联合概率分布，然后基于此模型，对于给定的输入 x 利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出 y。由此可知：1. 该算法的理论核心是贝叶斯定理；2. 它是基于条件独立性假设这个强假设之下的，这也是该算法为什么称为 “朴素” 的原因。

条件概率公式

首先来复习下条件概率公式~

条件概率 P(B|A) 表示已知事件A发生的情况下事件B发生的概率。用图形表示就是这样：

A 发生的条件下 B 发生的情况就是 AB 发生，所以条件概率 P(B|A) 就是 AB 在 A 中所占的比例。样本空间 S，如果设其面积为1，那么（左侧图中）事件 A 和事件 AB 的面积在数值上就等于它们的概率 P(A), P(AB) ，则：

所以可得：

病人分类的例子

接下来，以一个简单的例子来说明贝叶斯分类器。某个医院早上收了六个门诊病人，如下图所示：

现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？

根据条件概率公式：

可得：

假定"打喷嚏"和"建筑工人"这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了：

计算可得，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。

同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。

这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。

朴素贝叶斯分类器的公式

假设某个体有 n 项特征（Feature），分别为 F1、F2、…、Fn。现有 m 个类别（Category），分别为C1、C2、…、Cm。贝叶斯分类器就是计算出概率最大的那个分类，也就是求下面这个算式的最大值：

由于 P(F1F2…Fn) 对于所有的类别都是相同的，可以省略，问题就变成了求的最大值：

朴素贝叶斯分类器则是更进一步，假设所有特征都彼此独立，因此：

上式等号右边的每一项，都可以从统计资料中得到，由此就可以计算出每个类别对应的概率，从而找出最大概率的那个类。

虽然"所有特征彼此独立"这个假设，在现实中不太可能成立，但是它可以大大简化计算，而且有研究表明对分类结果的准确性影响不大。

使用朴素贝叶斯进行文档分类

以《机器学习实战》一书上的文档分类为例，使用 Python 编写贝叶斯分类器进行文档的自动分类。

首先，我们需要把句子进行拆分，变成单词向量或者词条向量。再考虑所有文档中出现的单词，纳入词汇表，然后将每一篇文档转换为词汇表上的向量。简单起见，我们先假设已经将本文切分完毕，存放到列表中，并对词汇向量进行分类标注。

1. 创建实验数据集

def loadDataSet():
    dataSet=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
             ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog'


    
, 'park', 'stupid'],
             ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
             ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
             ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
             ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']] # 切分好的词条
    classVec = [0,1,0,1,0,1] # 类别标签向量，1 代表侮辱性词汇，0 代表非侮辱性词汇
    return dataSet,classVec

dataSet,classVec = loadDataSet()

生成 6 句话，其中 3 句带有侮辱性词汇。

2. 生成词汇表

def createVocabList(dataSet):
    vocabSet = set() # 创建一个空的元组
    for doc in dataSet: # 遍历 dataSet 中的每一条言论
        vocabSet = vocabSet | set(doc) # 取并集
        vocabList = list(vocabSet)
    return vocabList

vocabList = createVocabList(dataSet)
print(vocabList)

['park', 'worthless', 'stop', 'flea', 'quit', 'not', 'dog', 'help', 'him', 'maybe', 'posting', 'steak', 'buying', 'mr', 'to', 'garbage', 'so', 'how', 'licks', '


    
please', 'my', 'is', 'cute', 'I', 'has', 'stupid', 'food', 'problems', 'ate', 'dalmation', 'take', 'love']

然后，把所有句子中的单词提取成一个词汇表。先用set()对句子中的单词去重，再使用操作符|求两个集合的并集，即可得到所有句子中的单词的一个集合。

3. 词汇表到向量的转化

def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):
    returnVec = [0] * len(vocabList) # 创建一个其中所含元素都为 0 的向量
    for word in inputSet: # 遍历每个词条
        if word in vocabList: # 如果词条存在于词汇表中，则变为 1
            returnVec[vocabList.index(word)] = 1
        else:
            print(f" {word} is not in my Vocabulary!" )
    return returnVec #返回文档向量

输入参数为词汇表及某个文档，输出的是文档向量，向量的每一元素为 1 或 0，分别表示词汇表中的单词在输入文档中是否出现。函数首先会创建一个和词汇表等长的向量，并将其元素都设置为 0。接着，遍历文档中的所有单词，如果出现了词汇表中的单词，则将输出的文档向量中的对应值设为 1。

4. 生成所有词条向量列表

def get_trainMat(dataSet):
    trainMat = [] #初始化向量列表
    vocabList = createVocabList(dataSet) # 生成词汇表
    for inputSet in dataSet: # 遍历样本词条中的每一条样本
        returnVec=setOfWords2Vec(vocabList, inputSet) # 将当前词条向量化
        trainMat.append(returnVec) # 追加到向量列表中
    return trainMat

将上面写的三个函数包装下，来生成所有词条的向量列表。

5. 构建朴素贝叶斯分类器的训练函数

之前提到朴素贝叶斯分类器可以用下面的公式来计算概率，计算出每个类别对应的概率，从而进行预测。

所以代码的逻辑就是，计算每个类别的文档数目，对每篇训练文档的每个类别分别计算条件概率。

def trainNB(trainMat,classVec):
    n = len(trainMat) # 计算训练的文档数目
    m = len(trainMat[0]) # 计算每篇文档的词条数，其实就是词汇表的长度
    pAb = sum(classVec)/n # 文档属于侮辱类的概率，因为侮辱类标记为 1
    p0Num = np.zeros(m) # 词条出现数初始化为 0
    p1Num = np.zeros(m) # 词条出现数初始化为0



    
    p0Denom = 0 # 分母初始化为 0
    p1Denom = 0 # 分母初始化为 0
    for i in range(n): # 遍历每一个文档
        if classVec[i] == 1: # 统计属于侮辱类的条件概率所需的数据
            p1Num += trainMat[i]
            p1Denom += sum(trainMat[i])
        else: # 统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据
            p0Num += trainMat[i]
            p0Denom += sum(trainMat[i])
    p1V = p1Num/p1Denom
    p0V = p0Num/p0Denom
    return p0V,p1V,pAb # 返回属于非侮辱类,侮辱类和文档属于侮辱类的概率

构造函数进行朴素贝叶斯分类器分类。使用reduce()函数配合lambda匿名函数实现对应元素相乘的功能，因为是二分类问题，所以文档属于非侮辱类的概率就是(1 - pAb)。

from functools import reduce

def classifyNB(vec2Classify, p0V, p1V, pAb):
    p1 = reduce(lambda x,y:x*y, vec2Classify * p1V) * pAb   # 对应元素相乘
    p0 = reduce(lambda x,y:x*y, vec2Classify * p0V) * (1 - pAb)
    print('p0:',p0)
    print('p1:'


    
,p1)
    if p1 > p0:
        return 1
    else:
        return 0

6. 测试朴素贝叶斯分类器

最后，我们来测试下这个分类器：

def testingNB(testVec):
    dataSet,classVec = loadDataSet() #创建实验样本
    vocabList = createVocabList(dataSet) #创建词汇表
    trainMat= get_trainMat(dataSet) #将实验样本向量化
    p0V,p1V,pAb = trainNB(trainMat,classVec) #训练朴素贝叶斯分类器
    thisone = setOfWords2Vec(vocabList, testVec) #测试样本向量化
    if classifyNB(thisone,p0V,p1V,pAb):
        print(testVec,'属于侮辱类') #执行分类并打印分类结果
    else:
        print(testVec,'属于非侮辱类') #执行分类并打印分类结果

#测试样本1
testVec1 = ['love', 'my', 'dalmation']



    
testingNB(testVec1)

['love', 'my', 'dalmation'] 属于非侮辱类

testVec2 = ['stupid', 'garbage']
testingNB(testVec2)

p0: 0.0
p1: 0.0
['stupid', 'garbage'] 属于非侮辱类

显而易见，对于第二个测试数据，分类器无法正确进行分类，这是为什么呢？

7. 朴素贝叶斯改进之拉普拉斯平滑

由朴素贝叶斯分类器的公式可知，利用贝叶斯分类器对文档进行分类时，要计算多个概率的乘积以获得文档属于某个类别的概率。如果其中有一个概率值为 0，那么最后的成绩也为 0。显然，这样是不合理的，为了降低这种影响，可以将所有词的出现数初始化为 1，并将分母初始化为 2。这种做法就叫做拉普拉斯平滑 (Laplace Smoothing）又被称为加 1 平滑，是比较常用的平滑方法，它就是为了解决 0 概率问题。

另外一个遇到的问题就是下溢出，这是由于太多很小的数相乘造成的。我们在计算乘积时，由于大部分因子都很小，所以程序会下溢或者得不到正确答案。为了解决这个问题，对乘积结果取自然对数。通过求对数可以避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误。同时，采用自然对数进行处理不会有任何损失。

修改代码如下：

def trainNB(trainMat,classVec):
    n = len(trainMat) #计算训练的文档数目
    m = len(trainMat[0]) #计算每篇文档的词条数
    pAb = sum(classVec)/n #文档属于侮辱类的概率
    p0Num = np.ones(m) #词条出现数初始化为1
    p1Num = np.ones(m) #词条出现数初始化为1


    

    p0Denom = 2 #分母初始化为2
    p1Denom = 2 #分母初始化为2
    for i in range(n): #遍历每一个文档
        if classVec[i] == 1: #统计属于侮辱类的条件概率所需的数据
            p1Num += trainMat[i]
            p1Denom += sum(trainMat[i])
        else: #统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据
            p0Num += trainMat[i]
            p0Denom += sum(trainMat[i])
    p1V = np.log(p1Num/p1Denom)
    p0V = np.log(p0Num/p0Denom)
    return p0V,p1V,pAb #返回属于非侮辱类,侮辱类和文档属于侮辱类的概率

查看代码运行结果：

p0V,p1V,pAb=trainNB(trainMat,classVec)
def classifyNB(vec2Classify, p0V, p1V, pAb):
    p1 = sum(vec2Classify * p1V) + np.log(pAb)    #对应元素相乘
    p0 = sum(vec2Classify * p0V) + np.log(1- pAb) #对应元素相乘
    if p1 > p0:
        return 1
    else:
        return 0

测试代码运行结果：

#测试样本1
testVec1 = ['love', 'my', 'dalmation']
testingNB(testVec1)

['love', 'my', 'dalmation'] 属于非侮辱类

#测试样本2
testVec2 = ['stupid', 'garbage']
testingNB(testVec2)

['stupid', 'garbage'] 属于侮辱类

现在分类器已经构建好啦~

朴素贝叶斯的优缺点

• 优点：

• 朴素贝叶斯模型发源于古典数学理论，有稳定的分类效率。

• 对小规模的数据表现很好，能个处理多分类任务，适合增量式训练，尤其是数据量超出内存时，我们可以一批批的去增量训练。

• 对缺失数据不太敏感，算法也比较简单，常用于文本分类。

• 缺点：

• 理论上，朴素贝叶斯模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。但是实际上并非总是如此，这是因为朴素贝叶斯模型假设属性之间相互独立，这个假设在实际应用中往往是不成立的，在属性个数比较多或者属性之间相关性较大时，分类效果不好。而在属性相关性较小时，朴素贝叶斯性能最为良好。对于这一点，有半朴素贝叶斯之类的算法通过考虑部分关联性适度改进。

• 需要知道先验概率，且先验概率很多时候取决于假设，假设的模型可以有很多种，因此在某些时候会由于假设的先验模型的原因导致预测效果不佳。

• 由于我们是通过先验和数据来决定后验的概率从而决定分类，所以分类决策存在一定的错误率。

• 对输入数据的表达形式很敏感。

Reference

• http://www.cnblogs.com/maybe2030/

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