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来源：搜不狐
sobuhu.com/ml/2012/11/25/kmeans-python.html
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K-Means应该是最简单的聚类算法之一了吧，理论上很简单，就是随即初始化几个中心点，不断的把他们周围的对象聚集起来，然后根据这群对象的重置中心点，不断的迭代，最终找到最合适的几个中心点，就算完成了。
然后，真正实践的时候才会思考的更加深入一点，比如本文的实践内容就是一个失败的案例（算法是成功的，场景是失败的）。
什么是聚类
简单的说，就是对于一组不知道分类标签的数据，可以通过聚类算法自动的把相似的数据划分到同一个分类中。即聚类与分类的区别主要在于，聚类可以不必知道源数据的标签信息。
K-Means（K均值）
K均值是一种比较简单的聚类算法，下图是来自wiki：
从图中可以看出，K-Means首先在空间中随机选取三个点（彩色的），这些点可以是某个数据点所在的位置，也可以是纯粹的空间随机点。然后类似拉帮结派一样，到自己附近“抓人”。第一轮抓完之后形成了三个稳定的新“帮派”，这时候每一个帮派由于成员发生了变化，大家就重新投票选择新的“核心”，也就是中间点。选好新的核心之后，这个核心就又开始新一轮的拉帮结派。然后不断的循环迭代，直到整个空间稳定时停止。
K-Means算法描述
上面对K-Means的介绍已经比较详细了，现在，如果把K-Means算法总结成算法描述，其实只需要四步骤：
任意选择k个点，作为初始的聚类中心。
遍历每个对象，分别对每个对象求他们与k个中心点的距离，把对象划分到与他们最近的中心所代表的类别中去，这一步我们称之为“划分”。
对于每一个中心点，遍历他们所包含的对象，计算这些对象所有维度的和的中值，获得新的中心点。
计算当前状态下的损失(用来计算损失的函数叫做Cost Function，即价值函数)，如果当前损失比上一次迭代的损失相差大于某一值（如1），则继续执行第2、3步，知道连续两次的损失差为某一设定值为止（即达到最优，通常设为1）。
距离函数
计算距离有很多种方式，我这里使用的是最简单的欧氏距离，其他的几种距离可以参考酷壳的这篇博客（http://coolshell.cn/articles/7779.html）。
损失函数（Cost Function）
每一次选取好新的中心点，我们就要计算一下当前选好的中心点损失为多少，这个损失代表着偏移量，越大说明当前聚类的效果越差，计算公式称为（Within-Cluster Sum of Squares, WCSS）：
其中，$ x_{i} $ 表示某一对象，$c_{k}$表示该对象所属类别的中心点。整个式子的含义就是对各个类别下的对象，求对象与中心点的欧式距离的平方，把所有的平方求和就是$L(C)$。
评价标准
采用聚类的数据，通常没有已知的数据分类标签，所以通常就不能用监督学习中的正确率、精确度、召回度来计算了（如果有分类标签的话，也是可以计算的）。
常用于聚类效果评价的指标为：Davies Bouldin Index，它的表达式可以写为：
其中，$ rho_{i} $和 $ rho_{j} $ 都表示i,j两个分类中的所有对象到中心点的平均距离。而分母中的$c_{i}$和分别表示i,j两个分类的中心点之间的距离。整个表达式的含义就是，聚类效果越好，两个分类间的距离应该越远，分类内部越密集。
Python实践
一、数据准备
如之前所写的朴素贝叶斯分类详解一样，我们的第一步依然是进行数据准备，所不同的是，由于我们不再需要对模型进行训练，所以不必拆分原始数据为训练和测试两部分。
数据向量化
这部分是要格外注意的，要根据不同的数据使用不同的度量单位，比如我们现在是对新闻进行聚类，最初我使用的是，每一个单词作为一个向量，单词的频度就是该维度上的值，但是后来发现结果非常差，经过请教前辈，发现对新闻聚类最好不要使用词频，而且要抛出新闻长度对结果的影响。
举个例子：假如一个新闻A包含Google，Baidu两个词各一次，而B分别包含两个单词歌两次，那么实际上他们属于同一种分类的概率应该是一样的，也就是距离为0才对。
另外，即便是不使用词频，也要注意抛弃总长度对结果的影响，比如A（Google,Baidu），而B是(Google,Baidu,Netease)，那么A、B的欧式长度分别是根号2和根号3，这也不合理，我们需要正规化操作，让他们的欧氏距离总长度都相等（参看我代码里的normalize函数）。
二、初始化随机点
我们的新闻数据已知属于5个类别，所以我们就初始设定5个随机点，我使用了random.random()函数来随机选择，具体代码在initCenters函数部分。
在初始化过程完成的工作有：
第一次设定初始聚类中心
第一次为这些中心点分配对象
分配对象完成之后进行重新定位中心点
对定位后的中心点计算损失函数
三、迭代进行K-Means优化
如上面介绍K-Means算法的时候提到的，这部分需要不断的重新划分对象，重新定位中心点和计算损失函数，然后根据损失函数与上一次的对比决定是不是要继续迭代。
这部分代码在start函数内。
四、Cost Function
具体损失函数如何计算的，之前是在costFunction内，但是我发现分配对象到中心点的时候，可以顺便把损失计算出来，为了提升性能，我把costFunction的代码合并到了split函数内。
下面是完整的程序代码：
#!/usr/bin/env python
#coding:utf-8
import os
import random
import math
class Center(object):
def __init__(self, vector):
self.vector
= vector
self.objects = []
class Vector(object):
"""单个数据记录的向量表示"""
def __init__(self, label):
# 由于当前向量比较稀疏，所以使用字典而非数组来表示
self.words = {}
self.label = label
def loadFromFile(self, file_name, word_dict):
with open(file_name,'r') as f:
words = f
.read().split()
for word in words:
if word not in word_dict:
word_dict[word] = len(word_dict)
word_id = word_dict
[word]
self.words[word_id] = 1
def addToNearestCenter(self, centers):
nearest = centers[0]
d = self.distance(
centers[0].vector)
for center in centers[1:]:
new_d = self.distance(center.vector)
if new_d < d:
d = new_d
nearest = center
nearest.objects.append(self)
"""
计算两个向量之间的欧几里得距离,注意数据维度上的值非常稀疏.
"""
def distance(self, vector):
square_sum = 0.0
for word in vector.words:
if word not in self.words:
a = vector.words[word]
square_sum += math.pow(a
, 2)
if word in self.words:
a,b = vector.words[word],self.words[word]
square_sum += math.pow
((a-b), 2)
for word in self.words:
if word not in vector.words:
a = self.words[
word]
square_sum += math.pow(a, 2)
result = math.sqrt(square_sum)
return result
class KMeans(object):
""" 准备数据，把新闻数据向量化"""
def __init__(self, dir_name):
self.word_dict = {}
self.vectors = []
self.dir_name = dir_name
# {'file_name':{word:3,word:4}}
self.centers = []
# 上一次中心点的损失
self.last_cost = 0.0
# 从指定目录加载文件
for file_name in os.listdir(dir_name):
v = Vector(file_name)
v.loadFromFile(dir_name+
'/'+file_name, self.word_dict)
self.vectors.append(v)
""" 分配初始中心点,计算初始损失，并开始聚类 """
def start(self, class_num):
# 从现有的所有文章中，随机选出class_num个点作为初始聚类中心
for
vector in random.sample(self.vectors, class_num):
c = Center(vector)
self.centers.append(c)
# 初始划分，并计算初始损失
print 'init center points'
self.split()
self.locateCenter()
self.last_cost = self.costFunction()
print 'start optimization'
# 开始进行优化，不断的进行三步操作：划分、重新定位中心点、最小化损失
i = 0
while True:
i
+= 1
print '第 ',i,' 次优化:'
self.split()
self.locateCenter()
current_cost = self.costFunction()
print '损失降低(上一次 - 当前)：',self.last_cost,' - '
,current_cost,' = ',(self.last_cost - current_cost)
if self.last_cost - current_cost <= 1:
break
else:
self.last_cost = current_cost
# 迭代优化损失函数，当损失函数与上一次损失相差非常小的时候，停止优化
count = 0
for center in self.centers:
count += 1
print '第', count, '组:'
for s in ['business',
'it','sports','yule','auto']:
s_count = 0
for vector in center.objects:
if vector.label.find(s) > 0:
s_count += 1
print s,' = ',s_count
print '---------------------------------------'
"""
根据每个聚类的中心点，计算每个对象与这些中心的距离，根据最小距离重新划分每个对象所属的分类
"""
def split(self):
print '划分对象... Objects : ', len(self
.vectors)
# 先清空上一次中心点表里的对象数据，需要重新划分
for center in self.centers:
center.objects = []
# 遍历所有文件并分配向量到最近的中心点区域
for vector in self.vectors:
vector.addToNearestCenter
(self.centers)
""" 重新获得划分对象后的中心点 """
def locateCenter(self):
# 遍历中心点，使用每个中心点所包含的文件重新求中心点
count = 0
for center in self.centers:
count += 1
print '计算第 ', count, ' 类的新中心点...'
files_count = float(len(center.objects))
# 新的中心点，格式为 {word1:0,word2:5...}
new_center = {}
# 遍历所有该中心包含的文件
for vector in center.
objects:
# 遍历该文件包含的单词
for word in vector.words:
if word not in new_center:
new_center[word] = 1
else:
# 由于不使用词频计算，所以出现的词都是加1，最后再求平均
new_center[word] += 1
for word in new_center:
new_center[word] = new_center[word]/files_count
# 中心点对象
center.vector = Vector('center'
)
center.vector.words = new_center
""" 损失函数 """
def costFunction(self):
print '开始计算损失函数'
total_cost = 0.0
count = 0
for center
in self.centers:
count += 1
print '计算第 ', count, ' 类的损失 objects : ', len(center.objects)
for vector in center.objects
:
# 求距离平方作为损失
total_cost += math.pow(vector.distance(center.vector),2)
print '本轮损失为：',total_cost
return total_cost
if __name__ == '__main__':
km = KMeans('allfiles')
km.start(5)
输出结果：
由于初始点是随机选择的，所以结果并不是很好，这点可以使用k-means++算法改进，以后再写吧。
1、对于运算速度非常慢：
瓶颈在于两个地方，主要就是计算欧氏距离的时候，需要所有对象分别与中心点求差平方，而中心点根据实际使用，发现维度高达2W或3W，2500个文章，相当于进行2500 * 3W次的（基本运算+乘法运算），目前网上有不少库专门做这个事情，但总结起来还是没法根本上解决此问题。
2、对于分类效果较差：
我选择的场景更适合用朴素贝叶斯这种概率分类或者SVM这种间隔分类，因为K-Means的效果对初始的几个点的依赖非常大，如果运气不好选在了边缘或者几个分类的中间，那效果就会奇差。
解决办法：
避免在新闻分类或其他高维数据下使用K-Means，除非能解决初始中心点的选择问题，关于这点，我们后面的高斯混合模型可以部分解决这个问题。
而对于性能问题我目前无解，暂时想不到合适的数据结构来简化计算，唯一能想到的就是用C函数替代欧氏距离和损失函数的计算部分。
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