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线性判别分析,英文名称Linear Discriminant Analysis(LDA)是一种经典的线性学习方法。本文针对二分类问题,从直观理解,对其数学建模,之后模型求解,再拓展到多分类问题。
大体思想
给定训练样例集,设法将样例投影到一条直线上,使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离;在对新样本进行分类时,将其投影到同样的这条直线上,再根据投影点的位置来确定新样本的类别。
数学原理
道理是这么个道理,我们现在需要在数学上对其进行分析。我们接下来先建立求解上述问题的数学模型,之后再求解。
数学模型建立
那我们怎么从数学上去实现上述的思想呢?这里我们以二分类为例,对其展开叙述:
给定数据集,
,令
、
、
分别表示第
类示例的集合、均值向量、协方差矩阵。
如果将样本投影到直线上,那么样本所对应的均值和方差也将做一个线性变换,也即是投影之后的均值和方差。依据投影的数学关系,我们可以知道,原始样本的均值在
上的投影为
;原始样本的协方差在
上的投影为
;由于直线在一维空间上,所以
、
、
、
均为实数。
- 让同类样本的投影点尽可能接近这句话在数学上就可以表示为,让同类样本的协方差尽可能地小。即
+
尽可能地小;
- 让异类样本投影点尽可能地远离,所表示的意思就是,让两类样本的均值之间的距离尽可能地大。即
尽可能大。
综合以上两点,组合一个最大化的目标函数:
这个式子看起来符号有点多,我们将其化简一下,定义两个量:类内散度矩阵和类间散度矩阵:
- 类内散度矩阵(within-class scatter matrix):
定义类内散度矩阵将其展开可得:
- 类间散度矩阵(between-class scatter matrix):
定义类间散度矩阵。
此时,最大化的目标函数可重写为:
把上式称为与
的广义瑞利商(generalized rayleigh quotient)。
数学模型求解
现在的问题就变成了,我们怎么来求这个投影方向,使得目标函数最大。
优化目标函数的分子和分母都是关于
的二次项,因此求解最大化
与
的长度无关,只与其方向有关。那么我们将分母约束为1,将原问题转换为带有约束的最优化问题,再利用拉格朗日乘子法对其求解即可,原问题等价为:
由拉格朗日乘子法可知,上式等价于:
其中是拉格朗日乘子。由于
是标量,所以
的方向恒为
,不妨令:
这里之所以可以令参数为,是因为整个问题我们都在求解方向,且
的方向恒为
,所以长度设置怎么好算怎么来。将
带入
可得:
到这里投影方向的求解就完事了。但上述解涉及到求逆矩阵,考虑数值解的稳定性,实践过程中通常将
进行奇异值分解。
,这里
是一个实对角矩阵,其对角线上的元素是
的奇异值,再求解,得出
。
LDA推广到多分类
将推广到多分类问题中,假定存在
类,且第
类示例数为
。定义“全局散度矩阵”
:
是所有样本的均值向量。
将类内散度矩阵重定义为每个类别的散度矩阵之和:
其中:
由此可求解出:
用,
,
三者中的任意两者都能够构造优化目标。常见的一种构造如下所示:
其中,
表示矩阵的迹(trace)。上式通过广义特征值问题求解:
的闭式解为
的
个最大广义特征值所对应的特征向量组成的矩阵,
。
若将视为一个投影矩阵,则多分类
将样本投影到
维空间,
通常小于原有属性数
。于是,可通过这个投影来减少样本点的维数,且投影过程中使用了类别信息,因此
也常被视为经典的监督降维技术。
与PCA降维不同LDA降维会保留类的区分信息。在LDA二分类中,第一类的均值与第二类的均值如果重叠在一起,将会找不到投影方向。PCA与LDA并没有某一种比另外一种更好的这种说法。
本文主要参考书目,周志华机器学习。以前都没发现这书居然写地这么好。emmmm。