数学推导+纯Python实现机器学习算法14：Ridge岭回归

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上一节我们讲到预防过拟合方法的Lasso回归模型，也就是基于L1正则化的线性回归。本讲我们继续来看基于L2正则化的线性回归模型。

L2正则化

相较于L0和L1，其实L2才是正则化中的天选之子。在各种防止过拟合和正则化处理过程中，L2正则化可谓第一候选。L2范数是指矩阵中各元素的平方和后的求根结果。采用L2范数进行正则化的原理在于最小化参数矩阵的每个元素，使其无限接近于0但又不像L1那样等于0，也许你又会问了，为什么参数矩阵中每个元素变得很小就能防止过拟合？这里我们就拿深度神经网络来举例说明吧。在L2正则化中，如何正则化系数变得比较大，参数矩阵W中的每个元素都在变小，线性计算的和Z也会变小，激活函数在此时相对呈线性状态，这样就大大简化了深度神经网络的复杂性，因而可以防止过拟合。

加入L2正则化的线性回归损失函数如下所示。其中第一项为MSE损失，第二项就是L2正则化项。

L2正则化相比于L1正则化在计算梯度时更加简单。直接对损失函数关于w求导即可。这种基于L2正则化的回归模型便是著名的岭回归(Ridge Regression)。

Ridge

有了上一讲的代码框架，我们直接在原基础上对损失函数和梯度计算公式进行修改即可。下面来看具体代码。

导入相关模块：

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.model_selection import train_test_split

读入示例数据并划分：

data = pd.read_csv('./abalone.csv')data['Sex'] = data['Sex'].map({'M':0, 'F':1, 'I':2})X = data.drop(['Rings'], axis=1)y = data[['Rings']]X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25)X_train, X_test, y_train, y_test = X_train.values, X_test.values, y_train.values, y_test.valuesprint(X_train.shape, y_train.shape, X_test.shape, y_test.shape)

模型参数初始化：

# 定义参数初始化函数def initialize(dims):    w = np.zeros((dims, 1))    b = 0    return w, b

定义L2损失函数和梯度计算：

# 定义ridge损失函数def l2_loss(X, y, w, b, alpha):    num_train = X.shape[0]    num_feature = X.shape[1]    y_hat = np.dot(X, w) + b    loss = np.sum((y_hat-y)**2)/num_train + alpha*(np.sum(np.square(w)))    dw = np.dot(X.T, (y_hat-y)) /num_train + 2*alpha*w    db = np.sum((y_hat-y)) /num_train    return y_hat, loss, dw, db

定义Ridge训练过程：

# 定义训练过程def ridge_train(X, y, learning_rate=0.001, epochs=5000):    loss_list = []    w, b = initialize(X.shape[1])    for i in range(1, epochs):        y_hat, loss, dw, db = l2_loss(X, y, w, b, 0.1


    
)        w += -learning_rate * dw        b += -learning_rate * db        loss_list.append(loss)                if i % 100 == 0:            print('epoch %d loss %f' % (i, loss))        params = {            'w': w,            'b': b        }        grads = {            'dw': dw,            'db': db        }    return loss, loss_list, params, grads

执行示例训练：

# 执行训练示例loss, loss_list, params, grads = ridge_train(X_train, y_train, 0.01, 1000)

模型参数：

定义模型预测函数：

# 定义预测函数def predict(X, params):    w = params['w']    b = params['b']        y_pred = np.dot(X, w) + b    return y_pred
y_pred = predict(X_test, params)y_pred[:5]

测试集数据和模型预测数据的绘图展示：

# 简单绘图import matplotlib.pyplot as pltf = X_test.dot(params['w']) + params['b']
plt.scatter(range(X_test.shape[0]), y_test)plt.plot(f, color = 'darkorange')plt.xlabel('X')plt.ylabel('y')plt.show();

可以看到模型预测对于高低值的拟合较差，但能拟合大多数值。这样的模型相对具备较强的泛化能力，不会产生严重的过拟合问题。

最后进行简单的封装：

import numpy as npimport pandas as pdfrom sklearn.model_selection import train_test_split
class Ridge():    def __init__(self):        pass            def prepare_data(self):        data = pd.read_csv('./abalone.csv')        data['Sex'] = data['Sex'].map({'M': 0, 'F': 1, 'I': 2})        X = data.drop(['Rings'], axis=1)        y = data[['Rings']]


    
        X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25)        X_train, X_test, y_train, y_test = X_train.values, X_test.values, y_train.values, y_test.values        return X_train, y_train, X_test, y_test        def initialize(self, dims):        w = np.zeros((dims, 1))        b = 0        return w, b
    def l2_loss(self, X, y, w, b, alpha):        num_train = X.shape[0]        num_feature = X.shape[1]        y_hat = np.dot(X, w) + b        loss = np.sum((y_hat - y) ** 2) / num_train + alpha * (np.sum(np.square(w)))        dw = np.dot(X.T, (y_hat - y)) / num_train + 2 * alpha * w        db = np.sum((y_hat - y)) / num_train        return y_hat, loss, dw, db
    def ridge_train(self, X, y, learning_rate=0.01, epochs=1000):        loss_list = []        w, b = self.initialize(X.shape[1])        for i in range(1, epochs):            y_hat, loss, dw, db = self.l2_loss(X, y, w, b, 0.1)            w += -learning_rate * dw            b += -learning_rate * db            loss_list.append(loss)                    if i % 100 == 0:                print('epoch %d loss %f' % (i, loss))            params = {                'w': w,                'b': b            }            grads = {                'dw': dw,                'db': db            }        return loss, loss_list, params, grads            def predict(self, X, params):        w = params['w']        b = params['b']        y_pred = np.dot(X, w) + b        return y_pred     if __name__ == '__main__':    ridge = Ridge()    X_train, y_train, X_test, y_test = ridge.prepare_data()    loss, loss_list, params, grads = ridge.ridge_train(X_train, y_train, 0.01, 1000)    print(params)

sklearn中也提供了Ridge的实现方式：

# 导入线性模型模块from sklearn.linear_model import Ridge# 创建Ridge模型实例clf = Ridge(alpha=1.0)# 对训练集进行拟合clf.fit(X_train, y_train)# 打印模型相关系数print("sklearn Ridge intercept :", clf.intercept_)print("\nsklearn Ridge coefficients :\n", clf.coef_)

以上就是本节内容，下一节我们将延伸树模型，重点关注集成学习和GBDT系列。

更多内容可参考笔者GitHub地址：

https://github.com/luwill/machine-learning-code-writing

代码整体较为粗糙，还望各位不吝赐教。

好消息！
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