原创解读 · Nature Machine Intelligence 2026
Nature Machine Intelligence｜物理深度学习新范式：融合拉格朗日轨迹与欧拉流场，实现稀疏观测下的高分辨率流体重构
Lagrangian–Eulerian learning of flow field and trajectories with TrajectoryFlowNet
本文为AI人机协同原创解读和审查文章
论文投稿/审稿邮箱： xiongxiongnwpu@mail.nwpu.edu.cn
作者 Jingdi Wan、Hongping Wang、Bo Liu、Xiaolei Yang、Xiaodong Hu、Shengze Cai、Guowei He、Yang Liu（通讯）
单位 中国科学院大学工程科学学院、中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室、中国石油大学（北京）、浙江大学
信息 Nat. Mach. Intell. (2026)，DOI 10.1038/s42256-026-01316-7；预印本 arXiv:2507.09621；代码与四套数据集已开源
配评 同期 News & Views：Fukami K, Maulik R. Physics-informed machine learning: a hybrid lens for fluid dynamics
将控制方程写入神经网络的训练目标，这一思路自 Raissi 等人 2019 年的工作以来，已发展为一条独立的方法路线。它与纯数据驱动建模的区别不在网络结构，而在于对解的要求：模型不仅须拟合观测，其输出还须满足质量与动量守恒等物理关系。
这一要求在流体力学中具有特殊价值。多数测量场景下，可获得的数据在原理上即是不完整的——传感器只能布置于有限位置，光学方法只能照亮有限截面，医学影像的时空分辨率受制于设备本身。对于从未被观测到的部分，纯粹的数据驱动插值并无信息来源可言；而物理约束恰好提供了这一来源，它规定了流场在未观测区域所必须遵循的关系。换言之， 方程在此处承担的不是正则化的角色，而是信息补全的角色 。
据此可以推断，物理信息深度学习真正不可替代的场合，并非经典数值方法已能高效求解的正问题，而是观测本身残缺、且这种残缺无法通过增加测量加以弥补的反问题。本文所讨论的工作，处理的正是此类问题中一个具体而典型的情形。
粒子图像测速所采集的原始数据，可按两种方式加以处理：其一是追踪单个示踪粒子，获得其随时间演化的连续轨迹；其二是将图像划分为若干查询窗口，统计每个窗口内的平均位移，得到固定空间点上的速度分布。前者对应拉格朗日描述，后者对应欧拉描述。
两种处理方式各有其固有缺陷。粒子追踪可给出时间上连续的轨迹，但有效粒子数量通常仅数百量级，难以覆盖全场；窗口互相关可给出满场的速度分布，但空间分辨率受查询窗口尺寸的限制，且各帧之间相互独立，不具备时间连续性。在心血管流动等场景中，这一矛盾尤为突出：示踪粒子本身稀疏，人工标注一条多时刻轨迹往往需要数小时的工作量。
中国科学院大学 Yang Liu 团队与中国科学院力学研究所 Guowei He 团队提出的 TrajectoryFlowNet，将上述两项任务纳入同一网络框架同时求解。该工作发表于 Nature Machine Intelligence，同期配有 Kai Fukami 与 Romit Maulik 撰写的评论。
2026年PINN&神经算子&AI智能体加速科研课程交流 内容提要
框架由两个串联的网络构成：轨迹块由粒子初始位置预测其完整运动轨迹，流场块以预测轨迹为输入重建速度场与压力场，二者端到端联合训练。
两个模块通过一项相容性约束耦合：轨迹对拉格朗日时间的导数须与流场在该点给出的速度一致。该约束构成拉格朗日描述与欧拉描述之间的联系。
流场块输出流函数而非速度分量，速度经旋度运算导出，不可压条件由构造保证，连续性方程无需作为损失项出现。
方法在体外心脏模型上完成验证，由数百条人工标注轨迹重建出左心室内的血流场。
由稀疏测量重建稠密流场，在流体力学中通常被表述为稀疏传感器重建或超分辨问题，相关研究已有相当积累。然而既有方法多为逐帧处理：给定某一时刻若干空间点上的观测，恢复该时刻的全场分布。
时间方向上的预测则困难得多。流动具有多尺度特性，在混沌状态下小尺度结构的退相关过程尤为迅速。要求模型既能在任意时刻重建瞬时流场，又能给出粒子的长程轨迹，构成了两个方向上的约束，此前鲜有方法能够同时满足。
该工作的基本思路，是不将这两项任务分离处理。轨迹与流场被视为同一运动过程的两种投影，相应地，网络结构亦应同时体现这两种投影，并通过物理约束使其保持一致。
图1 TrajectoryFlowNet 的整体结构。a 任务设定：计算域内仅给出被动粒子的初始位置（红点），需同时预测其轨迹（蓝点）与时空流场。b 两模块串联关系，红色箭头表示两项物理约束。c 轨迹块。d 流场块。（原文 Figure 1）
轨迹块 接受三项输入：粒子初始位置 、释放时刻 与拉格朗日运动时间 。其输出并非位置本身，而是位移 ，实际位置由残差形式 给出。此设计使网络仅需学习位移量，而无需重复表达初始位置信息。
流场块 以轨迹块预测的位置与对应时刻为输入，输出流函数 与压力 。速度分量由自动微分对流函数取旋度获得，即 。两个模块均采用全连接网络，激活函数为双曲正切，输入端均先经傅里叶特征映射。网络规模相当有限：方腔算例中轨迹块为 4 层、每层 40 个神经元，流场块为 6 层、每层 60 个神经元。
两模块的耦合 由损失函数中的第三项实现。轨迹块给出的位置对 求导，得到该粒子的瞬时速度；流场块在同一时空点上亦给出速度预测。二者须相等，由此构成相容性损失
。拉格朗日描述与欧拉描述由这一等式联系起来。
完整损失函数由四项加权构成：轨迹位置误差与速度误差构成数据项，相容性损失与动量方程残差构成物理项。
其中三项设计值得专门说明。
连续性方程未进入损失函数
流场块输出流函数，速度由旋度运算导出，而旋度的散度恒为零，故不可压条件由网络结构本身保证，无需附加惩罚项。此处的差别并非计算量的节省：软约束仅能使散度在数值上较小，硬约束则使其严格为零。
边界条件与初始条件亦未显式施加
论文明确说明未对边界条件作显式约束，其作用由观测粒子轨迹与速度所占据的空间包络隐式承担。对于心腔这类边界随时间变形且几何不规则的问题，显式边界条件本身即难以准确给定，该处理方式具有现实合理性。
雷诺数可作为可训练参数
实验条件下流体物性与特征尺度往往难以精确测定。论文的处理是将无量纲化后的雷诺数设为可训练参数，与网络权重一并优化。
验证工作包含两个数值算例与两个实验算例。
图2 顶盖驱动方腔流算例，Re=100。c 为测试集中随机选取的轨迹（橙线为预测，虚线为真值），d 自左至右依次为训练粒子、真值、预测与误差分布，e 为相对误差与相关系数随时间的演化。（原文 Figure 2）
方腔流算例采用 FLUENT 在 100×100 网格上求解，于 5 秒时释放 300 个粒子，以其中 200 个粒子的轨迹作为训练数据，其余 100 个用于测试。整个演化过程中位移的相对 误差均低于 5%，相关系数保持在 0.997 以上，速度场的均方根误差与平均绝对误差均小于 0.011。误差主要集中于方腔顶部两角区域，该处粒子分布相对稀疏。
第二个数值算例为管道内绕流圆柱，雷诺数 146404，2200 个示踪粒子自入口持续释放。值得注意的是，该算例在训练时将边界条件视为未知量。位移相对误差低于 6%。
各算例测试集上的皮尔逊相关系数（原文表 1）。压力缺乏实验真值，故未列出。
图3 体外左心室血流算例。a 为 3D 打印硅胶模型与循环回路，b 为随心动周期变化的心室边界与训练轨迹，c 为训练所用的稀疏粒子速度，e 上下两行分别为 PIV 真值与重建结果。（原文 Figure 5）
左心室算例的实验装置构建较为完整：猪心的主动脉根部、主动脉瓣及完整二尖瓣复合体（含瓣环、前后瓣叶、腱索与乳头肌）经解剖后缝合于 3D 打印树脂环板，与依据 CT 重建的硅胶心室连接，整体置于折射率匹配的水–甘油溶液中，由电机驱动活塞模拟 60 次/分的心率与 3.6 升/分的心输出量。
主动脉算例则直接对应临床问题：将一枚 23 毫米爱德华兹 SAPIEN 经导管主动脉瓣在临床医师指导下植入瓣环位置，模拟经导管主动脉瓣置换术后的血流状态，心率 70 次/分，心输出量 7 升/分，血压 110/45 毫米汞柱。
训练数据的稀疏程度值得注意。主动脉算例中，人工标注的多时刻粒子仅 372 个，其余 5117 个粒子仅在单一时刻出现。论文补充材料记载，单人标注 465 个时空粒子点耗时约 4.5 小时。模型即基于此规模的数据，结合数据增强策略，完成了整个心动周期血流场的重建。
与既有方法的对比 选取了 Karniadakis 团队的 AIV（人工智能测速）与 AIVT（基于 Kolmogorov–Arnold 网络的物理信息方法）作为基线。在圆柱绕流算例上，AIV 的速度相关系数降至 0.06 与 0.33，基本失效；AIVT 的速度相关系数尚可（0.99），但压力仅为 0.33。TrajectoryFlowNet 对应三项指标分别为 0.996、0.990 与 0.994。需要指出的是， AIV 与 AIVT 在训练时均额外给定了边界条件，而 TrajectoryFlowNet 未作此设定 。
流函数输出与傅里叶特征映射这两项设计均非本文首创，但二者组合使用的效果，论文的消融实验呈现得并不清晰（详见第五节）。笔者就此设计了一组独立的数值检验。
检验设置如下：构造一个解析的无散速度场（双频泰勒–格林涡，第二频率取 ），仅在随机散布的若干点上提供速度监督，考察网络对全场的重建质量。共设四种组合，每种组合独立运行三个随机种子。
图4 左图为整场速度的相对 误差，误差棒表示三个随机种子的标准差；右图为重建速度场的归一化散度均方根（1000 个观测点）。（笔者自制实验）
流函数输出的作用得到确证。 直接输出速度分量的两种组合，其重建场的归一化散度均方根约为 7，与速度量级相当，不可压条件实质上并未满足。改为输出流函数后，散度降至
量级，已属自动微分的数值残差范围。两者相差约六个数量级，且该改进不产生额外计算开销。
流函数输出本身并不提升重建精度。 在不引入傅里叶特征的条件下，仅改变输出形式，相对误差由 0.47 变为 0.47（300 个观测点）、由 0.27 变为 0.28（1000 个观测点），差异均在误差棒范围之内。该设计所换取的是物理一致性，而非数值精度。
傅里叶特征映射的效果依赖于观测密度。 观测点为 300 个时，引入该映射反而使相对误差由 0.47 升至 0.56；观测点增至 1000 个时，则由 0.27 降至 0.17。其机理不难理解：傅里叶特征赋予网络表达高频分量的能力，但在观测不够稠密时，该能力将被用于拟合观测间隙中的虚假结构。
两项设计的组合效果显著优于各自单独使用。 在 1000 个观测点条件下，傅里叶特征与流函数输出并用时相对误差为 0.068，相较普通网络的 0.270 改善约四倍，亦明显优于两者单独使用时的 0.173 与 0.276。
图5 1000 个散点观测条件下重建所得的速度分量。普通网络将高频结构平滑为大尺度斑块，即频谱偏置的典型表现；引入傅里叶特征并采用流函数输出后，细节结构基本恢复。（笔者自制实验）
相关系数与相对误差所反映的信息存在显著落差
原文表 1 中，两个实验算例的速度相关系数介于 0.73 至 0.92 之间。但补充材料给出的同一算例速度相对 误差为：主动脉 分量 0.441、 分量 0.593，左心室 分量 0.738、 分量 0.393， 误差量级处于四成至七成之间 。相关系数衡量空间结构的相似程度，相对误差衡量数值偏差的幅度，二者可以相去甚远。正文未就此展开讨论，读者易仅据相关系数形成判断。客观而言，参照基准为 PIV 结果本身，而 PIV 在心腔低速区的信噪比同样有限；相对
误差在大面积近零速度区域上亦存在天然的放大效应。但综合来看，"高分辨率重构"这一表述在实验算例上仍需保留余地：轨迹预测精度确实很高（相关系数 0.997 以上），全场速度则尚未达到可直接用于壁面剪切应力计算的水平。
傅里叶特征映射的消融结果存在内部不一致
补充表 S.3 显示，引入该映射对两个实验算例及方腔算例的速度预测有明显改善（方腔 分量由 6.26×10⁻² 降至 1.85×10⁻²），但在圆柱绕流算例上 四项指标全部劣化 （ 分量由 1.21×10⁻¹ 升至 1.66×10⁻¹）。论文仅表述为"在多数情况下保持了良好精度"，未对该反例作出解释。第四节的检验结果提供了一种可能的解释：该映射的收益依赖于观测密度，在数据不足时将产生负面作用。圆柱绕流恰为粒子覆盖最不均匀的算例——粒子全部自入口释放，下游稠密而上游稀疏。
联合训练并非在所有算例上占优
补充表 S.4 对比了两模块联合训练与分别训练两种方案：联合训练在两个实验算例上表现更优，但在方腔与圆柱算例的多项指标上反而劣化（方腔 分量由 1.56×10⁻² 升至 2.42×10⁻²）。原文的表述为"总体上优于"。较为合理的理解是，联合训练的价值体现于数据稀疏且含噪声的真实场景，而非数据充分的仿真条件。
轨迹预测对数据稀疏度高度敏感
补充表 S.6 将方腔算例的训练轨迹数量由 100% 逐步降至 10%：速度场误差由 1.85×10⁻² 仅升至 1.09×10⁻¹，而轨迹误差由 2.42×10⁻² 升至 5.99×10⁻¹，增幅超过二十倍。论文对此给出了明确解释：速度为逐点独立查询，而轨迹误差沿时间方向累积。这意味着在实际应用中，决定方法可行性的是可标注长轨迹的数量，而非粒子点的总数。
四项损失权重未予公布
论文说明 至 系依经验调定，并承认模型性能可能对其敏感，具体数值仅存于代码仓库。对于以物理约束为核心特征的方法而言，物理项与数据项的相对权重属关键超参数，正文未给出取值与调参策略，复现工作需自行查阅源码。
作者列出的局限
其一，更换流动场景需重新训练；其二，逐点式网络结构难以扩展至大规模三维湍流，作者设想引入图神经网络编码空间连通性；其三，核心框架不含不确定性量化，仅在实验算例的压力预测上采用贝叶斯方法作了补充；其四，全部工作限于二维构型——三维条件下流函数形式不再适用，需改为直接预测速度并以散度惩罚项施加不可压约束，作者将此扩展称为一项重大挑战。
就方法论而言，该工作更值得关注之处在于其对问题的重新划分。稀疏重建此前的通行做法是将其表述为图像增强任务：以低分辨率场为输入，高分辨率场为输出，中间由网络完成映射。TrajectoryFlowNet 的处理顺序则是先还原粒子的运动过程，再由轨迹推导流场，该顺序与流体运动自身的物理进程相一致。同期评论亦特别指出，该架构显式地模仿了流体的自然物理进程，而非将问题视作朴素的图像增强。
约束的施加方式同样具有借鉴意义。不可压条件以硬约束形式由流函数结构保证，动量方程以软约束形式进入损失函数，边界条件则交由观测数据的空间包络隐式承担。相较之下，物理信息神经网络的常见做法是将全部方程一并纳入损失函数，继而陷入权重调节的困境。
就应用前景而言，作者所列举的若干方向均具现实基础：由少量漂流浮标数据反演海洋污染物扩散、由卫星跟踪的海冰浮块反演北极表层流场、由风洞试验中有限的示踪粒子反演尾流结构。这些场景具有共同特征，即观测本身为拉格朗日形式，而所需结果为欧拉形式的场分布。
Cai S, Li H, Zheng F, Kong F, Dao M, Karniadakis G E, Suresh S. Artificial intelligence velocimetry and microaneurysm-on-a-chip for three-dimensional analysis of blood flow in physiology and disease. PNAS , 2021, 118(13): e2100697118.
本文主要对比基线 AIV 的出处，亦是"以物理信息网络由稀疏测量反演血流"这一研究路线的奠基性工作之一。该文第一作者 Shengze Cai 同时也是 TrajectoryFlowNet 的作者之一。要理解新方法改进了什么，需先了解其改进的对象。
Xiong X, Lu K, Zhang Z, Zeng Z, Zhou S, Hu R, Deng Z. High-frequency flow field super-resolution via physics-informed hierarchical adaptive Fourier feature networks. Physics of Fluids , 2025, 37(9).
TrajectoryFlowNet 所采用的傅里叶特征映射为固定随机矩阵，各算例依赖人工调定的 参数，而本文第四节的检验表明该设定并不稳健。该工作将傅里叶特征构造为分层自适应形式，直接面向高频流场的超分辨问题，恰可补足这一环节。两文对照阅读，有助于厘清频谱偏置的处理路径。
Tancik M, Srinivasan P P, Mildenhall B, et al. Fourier features let networks learn high frequency functions in low dimensional domains. Advances in Neural Information Processing Systems 33 (NeurIPS), 2020.
傅里叶特征映射的原始出处，亦是本文图 5 中大尺度斑块现象的理论依据：全连接网络存在频谱偏置，其神经正切核的谱衰减过快，而一层随机傅里叶映射可使该谱重新展平。TrajectoryFlowNet 式 (11) 所采用的即为该文形式。
Fukami K, Fukagata K, Taira K. Super-resolution analysis via machine learning: a survey for fluid flows. Theoretical and Computational Fluid Dynamics , 2023, 37: 421–444.
流体超分辨研究的系统性综述，可用于判断该工作在领域中的位置：哪些问题已获解决，哪些仍属开放。该文作者 Fukami 亦是本文同期 News & Views 的执笔者，其评论中对局限性的判断建立在对该领域的整体把握之上。
文献与图片来源
Wan J, Wang H, Liu B, Yang X, Hu X, Cai S, He G, Liu Y. Lagrangian–Eulerian learning of flow field and trajectories with TrajectoryFlowNet. Nature Machine Intelligence , 2026. DOI 10.1038/s42256-026-01316-7. 预印本：arXiv:2507.09621v4。代码与数据：github.com/WanJingdi/TrajectoryFlowNet
Fukami K, Maulik R. Physics-informed machine learning: a hybrid lens for fluid dynamics. Nature Machine Intelligence , 2026. DOI 10.1038/s42256-026-01319-4.
图 1、2、3 取自原文 Figure 1、2、5，版权归原作者所有，此处作学术评述引用；图 4、5 为笔者自制。第四节检验由笔者独立完成（PyTorch 实现，四种组合各运行三个随机种子），脚本与输出保存于本地。文中引用的论文数据均已对照原文及补充材料核对。
