考虑了疫苗的SEIR模型的初步探索及Python实现

2020年终于过去，展望2021年，新冠疫情仍然是核心变量。不过与一年前不同的是，我们现在有快速检测病毒的试剂，有精准溯源的基因组测序，有科学防控的抗疫方法，而且最终战胜病毒的最重要手段—疫苗，已经研发成功并陆续接种。

本文尝试在经典的SEIR模型中，纳入疫苗的作用。具体而言，本文的模型，试图纳入以下三个因素：

病毒有潜伏期，即exposed，用E表示，这是经典的SEIR模型；
潜伏期病人也有传染性，但是传染能力低于感染者；
易感人群开始接种疫苗，疫苗的免疫作用在0-1之间。

模型的基本参数设置

模型将人群分为四大类，分别是：

S: susceptible，易感者；
E: exposed，潜伏者；
I: infected，感染者；
R: recovered，康复者。

模型的核心参数为：

：感染者的感染率
：潜伏者相对于感染者的感染率，是0-1之间的一个数字
：易感人群的疫苗接种率
：疫苗的免疫保护能力
：潜伏者变成感染者的比例
：感染者恢复的比例

模型的微分方程形式

模型的四个个核心公式分别是：

感染者向易感者（未打疫苗）传染的速度：
潜伏者向易感者（未打疫苗）传染的速度：
感染者向易感者（打疫苗但未获得免疫能力）传染的速度：
潜伏者向易感者（打疫苗但未获得免疫能力）传染的速度：

完整的微分方程模型如下：

模型的实际数据拟合和Python实现

从我们重点监测的几个海外经济体的新增病例来看，出现了变异病毒的英国的新增病例数，确实出现了明显增长，但是近期似乎出现了短期拐点。出现了变异病毒的南非的新增病例数也有较快增长，而美国的新增病例数也重新抬头，显示传播速度更快的变异新毒株，可能是近期部分地区疫情加重的重要原因。

我们在文中，用美国2020年9月份之后的第三轮疫情数据，来拟合SEIR模型。即下图中红色竖线右侧的疫情数据。

首先导入需要的包：

import pandas as pd
import numpy as np
from scipy import integrate, optimize
import matplotlib.pyplot as plt

定义SEIR模型：

# define SEIR model
def SEIR_model(Y,t,beta,q,a,sigma,epsilon,gamma):
    S,E,I,R = Y
    dS = - beta * S * (1-a) * I / N - beta * S * (1-a) * q * E / N - beta * a * S * (1-sigma) * I / N - beta * a * S * (1-sigma) * q * E / N - sigma * a * S
    dE = beta * S * (1-a) * I / N + beta * S * (1-a) * q * E / N + beta * a * S * (1-sigma) * I / N + beta * a * S * (1-sigma) * q * E / N  - epsilon * E
    dI = epsilon * E - gamma * I
    dR = sigma * a * S + gamma * I
    return dS,dE,dI,dR

定义拟合方程：

def fit_odeint(x,beta,q,a,sigma,epsilon,gamma):
    return integrate.odeint(SEIR_model, N0, x, args=(beta,q,a,sigma,epsilon,gamma))[:,2]

给定初始值：

population = float(320000000)
N = population
y = np.array(covid19['2020-09-13':])[:,0]
T = np.arange(len(covid19['2020-09-13':]))
I0 = y[0]
E0 = I0/3
R0 = 24987
N0 = population - E0 - I0 - R0, E0, I0, R0

拟合方程：

popt, pcov = optimize.curve_fit(fit_odeint, T, y, bounds=([0,0,0,0.75,0,0],[np.inf,1,np.inf,0.9,np.inf,np.inf]),maxfev=500000)
fitted = fit_odeint(np.array(list(range(1,200))), *popt)

从模型的初步结果上看，只要保持现有防疫措施和力度，并稳步推进疫苗的接种工作，美国的疫情有望见顶。

本文仅为笔者的初步探索，考虑到传染病的影响因素非常多，而且有效再生数随着政府的防疫措施、隔离情况以及疫苗接种情况而变，因此本文结论仅作参考。