【华泰金工林晓明团队】周期理论与机器学习资产收益预测——华泰金工市场周期与资产配置研究

上文右图展示了对市盈率预测股票涨跌例子的逻辑回归拟合结果，图中灰色曲线为拟合曲线，曲线的参数根据历史数据估计得到。可以看到，对于给定的特征变量X（即EP因子），因变量Y的估计值均在[0,1]区间之内，为因变量属于类别1的概率估计，该曲线的拟合能力明显好于线性回归：通过参数的估计，可以使得已发生的事实尽量的落入相应的类别数值1或0，且Y具有很好的概率含义。

综上，在逻辑回归中，我们根据已知的“特征变量”X和“标签”Y ，通过历史数据“训练”得到一个反映两者内在非线性关系的模型。如果这种关系规律在未来一段时间内能够延续，那么任意给出一个股票当前时刻的EP因子X，我们就可以“预测”该股票未来时刻的上涨或者下跌的概率，即得到

的估计值。根据已有的特征和标签历史数据训练模型，使用特征变量在未来时刻的估计值对标签进行预测，是机器学习最核心的两个环节。

周期状态“特征变量”的选择：周期三因子同比序列拟合值与拟合值的增加值

根据上文对于机器学习原理的简单介绍，在确定所用的机器学习模型之前，我们首先需要根据问题选择合适的特征变量X和因变量Y。由于与资产表现直接相关的变量为资产的收益率，因变量Y的选择范围较窄，为资产的收益率指标或者该指标衍生出的连续或离散类别变量，后文会对因变量Y的选择进行详细分析。本节重点分析并确定特征变量X的选择。

由于我们分析的对象为资产收益率，即价格环比，因此直觉上最理想的方式是直接提取资产环比序列的三周期状态作为特征变量X。然而，研究发现由于环比序列本身容易受到短期噪声的冲击，其波动中包含了大量不可解释的部分，通过高斯滤波获取的三周期状态稳定性较差，据此得到的三个周期状态对其自身外推预测的解释力也较低，难以预测资产未来短期表现。因此，本文认为根据资产环比序列得到的资产周期状态的估计值不适宜作为特征变量，具体分析详见附录一。

另一方面，回顾华泰金工深度报告的研究结果，在资产配置策略的构建中，多数使用当期的基于周期三因子同比序列拟合值的增加值（即当期同比序列拟合值减去上期同比序列拟合值）作为资产未来表现的评价指标，增加值越大则认为资产未来表现越好。且根据资产当期同比增加值大小确定资产配置比例的策略取得了较好的回测效果，我们认为同比序列周期状态适宜作为把握资产未来短期收益的“先行指标”。而同比增加值可以作为描述周期状态的特征变量。

在先前的研究中我们在多数情况下仅考虑了当期的同比增加值，然而，本文认为当期同比增加值只是内在逻辑的一种局部反映，不能够从整体角度把握资产周期状态与未来表现间的内在逻辑。

具体而言，利用周期三因子定价模型生成的滞后期和领先期同比拟合值的增加值同样与资产未来短期收益率之间存在相关关系。下图表以沪深300指数为例，展示了不同期同比增加值与指数当月（t），未来第1个月（t+1）和未来第2个月（t+2）收益率之间的相关系数。t 月领先 L 期同比增加值定义为 t+L 月同比序列的周期三因子拟合值与 t+L-1 月同比序列的周期三因子拟合值的差值：

为 t 时刻周期三因子定价方程参数的估计值，本文利用历史50个月的数据对于定价方程参数进行估计。

下表给出了沪深300指数不同期同比增加值同未来收益率的相关关系汇总。可以看到，不同领先滞后期的同比增加值序列对于沪深300指数当月收益率、未来第1个月收益率和未来第2个月收益率的解释力度不同，且存在较大差异。例如，对于当月收益率，当期同比增加值与其相关系数最大，达到了0.1369，也即当期同比增加值能够解释当月收益率波动的13%左右，相关系数其次为领先1期和领先2期同比增加值。对于未来第1月和未来第2月收益率，与之相关性最高的同比增加值指标分别为滞后2期和领先2期指标。值得关注的是，对于未来每期收益率，除了其对应期同比增加值与之存在较高相关性的同时，仍存在其它期同比增加值同样能较好的对收益率的运行趋势进行解释，因此，本文认为，如若想进一步把握资产收益率未来的走势，需要在模型中同时考虑多期同比增加值。

另一方面，上表结果显示，对于沪深300指数，不同期同比增加值同未来月收益率之间的相关系数较低，最大相关度远小于1，仅有0.1369。这说明，仅仅依赖同比增加值这一个指标无法准确的把握资产未来走势。根据先前研究结果，资产价格衍生序列中同比序列与对数价格序列的各个周期分量之间存在稳定的领先滞后关系。例如，对于基钦周期，同比序列的42个月基钦周期分量领先于对数价格序列的该周期分量约4至6个月；对于朱格拉周期和库兹涅茨周期，同比序列的100个月和200个月周期分量与对数价格序列相应的周期分量间同样存在稳定的相位关系。

根据华泰金工周期系列研究之《市场拐点的判断方法》，同比序列42个月高斯滤波得到的正弦分量的高点的出现时刻总落后于价格序列正弦分量的高点，如上图表中左图给出了上证综指同比序列和价格序列的42个月高斯滤波结果。此外，通过交叉谱分析的方式（右图），我们可以精确的得到上证综指的同比序列与价格序列的基钦周期分量间的相位差约为4.51个月。因此，本文认为通过周期三因子定价模型构造的同比序列的领先期和滞后期的拟合值同样能够对预测资产未来的短期表现起到指导作用，是资产周期状态与未来表现间内在逻辑的另一个局部反映。

综上所述，本文判断当期同比增加值仅是周期状态同资产表现间内在逻辑的一种局部反映，其它领先滞后期同比增加值和各期同比序列的拟合值同样能部分的反映资产未来短期的表现。因此，我们初步选择各期同比增加值和同比序列拟合值作为全面反映资产周期状态的特征变量，特征变量的具体选择我们将在后文实证部分进一步分析。

短期收益率预测：概率结果比确定性结果更有效

本节我们主要分析资产表现预测问题中因变量Y的选择。由于资产未来收益率同资产表现直接相关，这里我们只需要确定因变量Y的具体形式：Y为连续型变量，例如收益率值，则模型利用特征变量X对于Y的取值进行估计，给出确定性的预期结果；或Y为离散的类别变量，例如不同资产收益率的相对排序，则模型给出给定特征变量X的条件下Y属于某一特定类别的概率预测结果。我们将论证，在资产收益率分布有偏的前提下，概率结果比确定性结果更为有效。

确定性预测能够对未来可能发生事件的给出确定性预期。具体而言，假设t时刻有可能发生若干个事件，确定性预测将综合目前现有信息，对于t时刻发生第几个事件作出判断。传统的线性回归方法能够给出确定性预期结果。以未来资产表现趋势判断为例，线性回归利用资产收益率Y在外生条件X下的条件均值代表了收益率Y在未来时刻的期望值，并通过比较不同资产未来时刻的预期值给出资产的未来表现排序，进而给出未来表现最好资产的判断。

概率预测旨在根据现有信息，对未来特定时刻每个事件的发生概率进行估计。具体而言，对于资产未来表现问题，即根据现有外生条件X，给出资产收益率Y未来大小情况的概率分布。

对于前文基于同比序列周期状态的资产配置策略，其本质是将当期基于周期三因子的同比序列拟合值的增加值作为未来环比序列期望的估计值，并根据资产未来一期环比序列期望的大小资产进行排序，所给出的资产表现结果本质为确定性预测结果。如果我们认为资产收益率是服从正态分布的，那么环比序列的期望值是资产未来表现的良好衡量指标，即资产收益率期望越大，则下期越有可能表现最好，那么此时确定性预测结果足以准确反映资产未来的预期表现。

然而，实际中资产收益率往往不服从标准的正态分布，其真实分布大多数情况下是非对称的，而在很多情况下，资产收益率分布的不对称性会导致仅仅依靠收益率期望值的大小对资产未来表现进行排序是不合理的，具体的分析详见附录二。

本研究对于17个全球主要资产指数的收益率分布的偏度进行了进一步的分析，结果如下表所示。其中，针对每个资产指数本文对于该指数收益率的偏度分布进行了估计，并在图表中表明了该估计分布的上97.5%和下2.5%分位点对应的区间。若0在该区间之外，说明在95%的置信度下该指数收益率分布的偏度显著异于0，即该指数收益率分布存在不对称性。可以看到，进行分析的全部17个资产指数中15个指数的偏度显著不为0，其中泛欧总回报指数收益率分布的偏度显著大于0，而上证综指、标普500、富时100等14个指数收益率分布的偏度显著小于0，仅有美国总回报指数和CRB食品现货指数收益率的分布无法判断拒绝原假设。

因此，我们可以在一定程度上断定，对于绝大多数资产指数，其收益率分布大概率存在不对称的现象，则根据上文分析，基于确定性预期结果的资产表现判断可能出现偏差，概率预期结果比确定性预期结果更适合资产短期收益率预测。

综上所述，本文考虑根据现有信息，对资产未来表现的概率预期结果进行估计，即根据t时刻N项资产的已知信息，给出t+1时刻每项资产收益率取得最好表现的概率估计：

机器学习：通过挖掘资产周期规律与其市场表现的内在逻辑预测其收益排序

Softmax 回归（或者叫做多项逻辑回归）是逻辑回归（Logistic）在多分类问题上的推广。在逻辑回归中，其本质是利用逻辑函数建立起外生因变量与类别之间的关联关系，并对具体类别的发生概率进行估计。但由于逻辑函数形式的限制，逻辑回归能够处理的类别个数仅为2，而在实际应用中，我们常常需要同时分析多类资产的未来表现。Softmax回归将逻辑函数推广为Softmax函数，它能将一个含任意实数的K维实数空间的向量“压缩”到空间中，使每一个元素的范围都在[0,1]之间，并且所有元素的和为1，从而使Softmax回归能够对多维的分类问题进行建模。

基于Softmax函数的多维性质，Softmax回归能够处理类别数目多于2的情况，且同样能够给出具体类别的发生概率的估计值，在多项线性判别分析，朴素贝叶斯分类器和人工神经网络等的多种基于概率的多分类问题方法中都有着广泛应用。

在本文讨论的资产未来表现预期的问题中，Softmax模型能够建立下一个时刻资产 i 在N项资产中表现最好的概率同自变量g（即基于资产三周期当前状态构造的指标）的相关关系，具体形式如下：

需要特别说明的是，在Softmax回归中，特征变量既可以通过将Softmax模型同神经网络结合，利用神经网络提取特征的方式得到；也可以根据历史经验积累，人工选择同分类结果具有较强相关关系的先行指标作为特征输入。由于本文回测中采用大类资产的月度数据，因此数据规模有限，很难训练出复杂的特征提取神经网络；同时，根据华泰金工周期系列的研究成果，我们已经验证了很多指标与资产未来的表现存在一定的相关性，例如基于周期三因子模型得到的同比拟合值的增加值、与同比序列领先期和滞后期拟合值等等。因此我们选择在模型中放弃复杂的特征提取层，直接将先行指标作为Softmax模型的输入。

集成学习：避免对参数选择的敏感性，更全面有效地利用历史规律

实证分析：周期理论与机器学习的研究方法具有对不同市场的普适性

进一步，本文利用仿真生成的模拟数据，通过分析Softmax模型在仿真数据可预测方差比例和分类准确率的相关关系，验证了Softmax模型能够有效的挖掘资产三周期状态同其未来预期表现间的内在逻辑。同时，本文对全球大类资产等权指数、全球股债资产指数与中国大类资产指数分别进行了分析和基于Softmax模型回测结果的资产配置，利用市场历史数据的回测结果验证了所提模型在真实市场环境中把握多类资产未来表现的有效性。

预测先行指标的选择：“特征变量”组合的方式与原因分析

华泰金工周期系列研究结果显示，全球主要经济金融指数存在着42个月、100个月和200个月左右的周期因子，指数衍生序列的部分波动可由其内在的周期状态解释。于此同时，通过上文的分析，我们发现基于资产周期三因子定价模型计算而得的各期同比增加值对资产未来短期表现均存在一定的解释力度；另一方面，根据华泰金工周期系列报告《市场拐点的判断方法》，资产的同比序列和价格序列的基钦周期分量间存在稳定的领先滞后关系，同比序列的基钦周期分类领先价格序列约4至6个月，因此，我们认为根据周期三因子得到的领先和滞后期同比序列拟合值同样对资产收益率存在一定解释力度。

综上所述，本文将主要特征指标的范围初步确定为当期同比增加值与同比拟合值、领先1期至领先6期同比增加值与同比拟合值、滞后1期至滞后8期同比增加值与同比拟合值15对共30个指标：

值得一提的是，为了避免后文大类资产回测和资产配置分析中存在使用未来数据的可能[1]，本文中，先行指标集合确定中所使用的数据为中国股票市场的6大板块指数，该指数根据申万一级行业数据等权合成。根据不同的主要特征指标在板块数据回测中的准确率表现确定先行指标集合，进而在全球大类资产等权指数、全球股债细分资产和中国大类资产中进行回测与资产配置表现分析。利用板块数据确定先行指标集合的原因在于如下两个方面：首先，我们认为先行指标的选取规律在于资产衍生序列（同比、环比、对数价格序列）内在的数理逻辑，其本质源于资产衍生序列互相之间的相关关系，而与序列来源于何种资产无关。因此，我们能够从某类特定资产中挖掘到较优的先行指标集合，且在其它资产中表现稳定。另一方面，由于本文所用数据为月度，数据长度较短，无法将数据拆分为长度同时满足参数选取和回测的两部分。下午实证结果表明，根据板块数据选取的先行指标集合在其它三类资产回测中表现同样优异，为上述分析提供了有力的支持。

下图展示了基于上述15对主要特征指标构建的Softmax模型针对板块等权指数的回测准确率表现。可以看到，总体而言领先1期、当期、滞后1期和滞后5期同比增加值与同比拟合值的回测准确率最高，Top1Hit均超过了25%，高于基准的16.67%，Top2Hit和Top3Hit也均在一定程度上高于基准准确率。其中，当期和滞后1期主要特征指标的Top1Hit最高，达到了26.3%；领先1期特征指标的Top3Hit最高，达到63.5%；滞后5期的准确率较为平均，但基于同比序列同价格序列的基钦周期分量间存在稳定的4.5个月相位差的结论，本文认为滞后5期的同比序列拟合值能够在一定程度上反映资产未来表现，因此将该特征指标纳入先行指标集合中。

综上所述，本文将Softmax模型的先行指标的范围确定为：当期同比增加值与同比拟合值、滞后1期同比增加值与同比拟合值、滞后5期同比增加值与同比拟合值和领先1期同比增加值与同比拟合值。

仿真测试：机器学习在挖掘资产周期状态与未来表现逻辑关系具有效性

周期三因子定价模型的基础来源于资产服从周期几何布朗运动模型的假设。资产价格的几何布朗运动模型由保罗·萨缪尔森在 1965 年提出，在该模型中，资产价格的变动可以分解为固定趋势的漂移项和固定波动的布朗运动之和。周期几何布朗运动模型是对基础模型的改进，其放松了几何几乎布朗运动模型中漂移趋势固定不变假设，认为该趋势会随时间增长周期性波动：

对于每个随机波动项 ，随机生成 10 组资产价格集合，每组资产价格集合包括 7 只资产长度为 400 的价格序列，每只资产的价格序列根据周期几何布朗运动模型独立生成，模型参数如上文所示。

基于上文结果，先行指标集合包括4对指标：当期同比增加值与同比拟合值、滞后1期同比增加值与同比拟合值、滞后5期同比增加值与同比拟合值和领先1期同比增加值与同比拟合值。本文首先依次选择3对指标作为Softmax模型的输入，从而构建了4个基于不同先行指标的模型，利用仿真生成的数据测试不同模型在不同可解释方差比例下的回测准确率结果，得到结果如下表所示：

其中，Softmax-[-5 -1 0]表示输入先行指标为滞后5期、滞后1期和当期同比增加值和同比拟合值的Softmax模型，其余同理。可以看到，对上述4个单一Softmax模型，随着可解释方差比例的上升，模型回测准确率也随之提升；当可解释方差达到79.02%时，模型的Top1Hit均超过了50%，Top3Hit超过了90%，进一步当可解释方差比例大于90%时，上述模型的Top3Hit均达到95%以上，表现最好的模型Softmax-[-5 -1 0]预测结果实际排名第一的百分比也达到约75%。由于可解释方差比例完全由资产的周期三因子决定，因此单一Softmax模型回测准确率验证了模型对挖掘资产周期状态与未来表现间逻辑的有效性。

进一步，本文同样对集成学习模型进行了仿真测试，从而分析集成的Softmax模型对于挖掘内在逻辑的有效性。集成学习模型仿真测试结果汇总如下表所示：

策略回测：基于机器学习预测结果的资产配置策略业绩优势明显

根据上文仿真测试结果，对于仿真数据，Softmax模型能够有效挖掘资产三周期状态同未来表现间的内在联系，即利用Softmax模型能够给出资产未来表现排序的概率预测结果。本节将就全球股债指数和中国大类资产指数的历史数据，采用基于周期三因子的Softmax方法进行回测，进而分析该方法对资产未来收益预测的有效性。

为了更好的展示回测效果，本文设计了基于Softmax模型输出结果的资产配置策略，通过比较基于Softmax结果的资产配置策略与基准策略净值曲线与风险收益指标的差异，分析和评价Softmax模型在预测资产未来短期表现的效果。具体而言，如果基于Softmax预测结果的资产组合的主要风险收益指标均优于基准策略，这说明该策略有更高的概率配置未来表现较好的资产，即Softmax模型能够有效的把握资产的未来短期表现。

全球主要股债细分资产指数实证结果

首先，我们对全球主要股债细分资产指数利用基于周期三因子的Softmax方法进行回测分析。本文所采用的全球主要股债指数包括10个细分资产指数，具体如下表所示。其中选取包括上证综指，标普500在内的7个主要股票市场指数作为股票指数代表，选取美国总回报指数（U.S. aggregate total return value），泛欧总回报指数（Pan-European aggregate total return index value）和中国总回报指数（China aggregate Total Return index value）作为全球债券指数代表。数据的起止时间为2004年1月至2018年3月，数据采集频率为月度。

根据上文结果，我们初步选择了滞后5期、滞后1期、当期和领先1期的同比增加值和同比拟合值共4对主要特征指标用于构建Softmax模型输入的“先行指标”集合。下文依次选择3对主要特征指标构建单一Softmax模型，共计4个Softmax模型用于全球主要股债指数资产配置回测。

回测的方式为动态预测，回测区间为2012年5月至2018年3月。在每个时刻t，利用历史90个月的数据训练Softmax模型，并根据模型的预测结果调整资产配置比例。单一Softmax模型的回测结果如下图表所示：

其中，Softmax-[-5 -1 0]表示构建该模型的先行指标集合为滞后 5 期、滞后 1 期和当期的同比增加值和同比拟合值。当期-单指标策略表示依据资产当期同比增加值大小对确定资产配置比例的单指标策略，滞后 1 期、滞后 5 期-单指标策略同理。信息比率计算中的基准参照策略为等权配置策略。

可以看到，基于上述4个单一Softmax模型结果的资产配置策略的年化收益率均超过了基准的等权配置策略。其中，模型Softmax-[-5 -1 1]的年化收益率最高，达到了20.67%，夏普比率超过了基准的等权配置策略且最大回撤与基准策略相当。同时，上述4个单一Softmax模型的年化收益率、夏普比率和信息比率均超过了各个单指标策略，这说明单一Softmax模型在挖掘资产周期状态同未来表现间内在逻辑的有效性。

然而，基于上述四个单一Softmax模型预测结果的资产配置策略的回测结果仍存在一定差异，例如，模型Softmax-[-5 0 1]模型回测结果的最大回撤达到了28.3%，为所有模型中最高，且其年化收益率仅为11.34%，略低于基准的等权配置策略，甚至低于某些单一的细分资产，这说明该Softmax模型未能有效的对资产未来表现进行判断。

上述四个单一Softmax模型间的唯一差异在于先行指标集合的选取。为了降低Softmax模型结果对于先行指标选取的依赖，本研究采用了集成学习的方式，在每个时刻t，对于基于不同先行指标集合的单一Softmax模型给出的预测结果进行加总，进而输出集成后的预测结果；同时根据集成的资产表现的预测结果进行资产配置。集成学习-Softmax模型的回测结果如下图表所示：

其中Softmax-Bagging表示基于集成学习-Softmax模型资产配置策略的回测结果。可以看到，基于集成学习模型的资产配置策略能够在保持与基准等权配置策略最大回撤水平相当的条件下提升资产组合的年化收益率和夏普比率。且通过结果的集成，Softmax-Bagging模型的回测年化收益率均优于上述4个单一模型结果，且最大回撤和夏普比率同样为各个模型中最优，这说明集成学习模型不仅能消除单一模型对于指标选取的依赖，降低过拟合，同样也存在改进模型结果的潜力。

全球大类资产等权指数实证结果

进一步，我们对全球主要大类资产的等权指数利用基于周期三因子的Softmax方法进行回测分析。这里，我们将全球主要大类资产分为了股票、债券和大宗商品，并选择了17个指数作为上述三个大类资产的代表，具体如下表所示：

值得一提的是，由于本研究回测所采用的数据频率为月度，因此数据长度非常有限。对于Softmax模型，其带估计参数theta数量与待分类类别数目N呈二次正相关关系，因此，若分类类别数目过大，则根据有限的训练样本长度得到的参数的估计值稳定性较差，且与真实值之间存在较大偏误。该偏误会对于模型对资产未来表现预期的准确性产生负面影响。

 

然而，本文认为上述精确性下降的本质原因在于训练样本数目的不足，并不能作为Softmax模型能否有效挖掘周期三因子状态和资产表现内在联系的判断依据。因此，本文在对于全球大类资产指数进行回测时，首先将不同类别的细分资产指数进行等权合成，生成了股票、债券和大宗商品3个等权指数，进而利用Softmax模型对3个等权指数进行回测。其中，将上证综指，标普500，富时100等7个主要股票市场指数等权合成为股票资产等权指数；将CRB食品现货，CRB食用油现货等7个CRB指数等权合成为大宗商品资产等权指数；选取美国总回报指数（U.S. aggregate total return value），泛欧总回报指数（Pan-European aggregate total return index value）和中国总回报指数（China aggregate Total Return index value）等权合成债券等权指数。数据的起止时间为2004年1月至2018年3月，数据采集频率为月度。经过上述指数合成操作，我们将资产的类别从17降低到3，满足了目前数据长度下Softmax模型的训练样本需求。

 

与全球主要股债指数资产配置的回测方式相同，我们选择滞后5期、滞后1期、当期和领先1期的同比增加值和同比拟合值共4对主要特征指标用于构建Softmax模型输入的“先行指标”集合。回测中依次选择3对主要特征指标构建单一Softmax模型，共计4个Softmax模型用于全球主要股债指数资产配置回测。回测的方式为动态预测，回测区间为2012年5月至2018年3月。在每个时刻t，利用历史90个月的数据训练Softmax模型，并根据模型的预测结果调整资产配置比例。单一Softmax模型的回测结果如下图表所示： 

可以看到，基于上述4个单一Softmax模型结果的资产配置策略的年化收益率均超过了基准的等权配置策略。其中，模型Softmax-[-5 -1 0]的年化收益率最高，达到了12.17%。这同样说明单一Softmax模型在挖掘资产周期状态同未来表现间内在逻辑的有效性。然而，与上节全球股债细分指数资产配置回测结果相比，单一Softmax模型对于大类资产等权指数的配置效果没有明显优于单指标策略。本研究认为，上述差异的不显著主要在于进行配置的资产种类较少（仅有股票、债券和大宗商品三类），Softmax模型由于引入概率预期结果的优势在资产种类较少的情况下不能完全体现，因此其对于资产表现判断的准确度与单指标策略差距不大。

然而，基于上述四个单一Softmax模型预测结果的资产配置策略的回测结果同样仍存在一定差异，例如，模型Softmax-[-1 0 1]回测效果不佳，其年化收益率同基准的等权策略相当，但波动率和最大回撤等风险指标上不如基准的等权策略，甚至低于某些单一的等权指数。

 

另一方面，与全球主要股债细分资产指数回测结果相比，表现最好的单一Softmax模型所依赖的先行指标集合存在差异。具体而言对于全球主要股债细分资产指数，建立在滞后5期、滞后1期和领先1期同比增加值和同比拟合值的模型Softmax-[-5, -1, 1]表现最好，而在资产等权指数的回测中，模型Softmax-[-5 -1 0]取得了最为突出的回测效果。因此，基于Softmax模型预测结果的资产配置策略回测效果依赖于先行指标集合的选取，且对于不同的大类资产指数，取得最优效果的先行指标集合存在差异。

 

为了降低Softmax模型结果对于先行指标选取的依赖，本研究采用了集成学习的方式，在每个时刻t，对于基于不同先行指标集合的单一Softmax模型给出的预测结果进行加总，进而输出集成后的预测结果；同时根据集成的资产表现的预测结果进行资产配置。集成学习-Softmax模型的回测结果如下图表所示：

其中Softmax-Bagging表示基于集成学习-Softmax模型资产配置策略的回测结果。可以看到，集成学习模型在全球大类资产等权指数配置的回测中同样能够超过等权配置策略的年化收益率。

中国主要大类资产指数实证结果

最后，我们将回测分析关注的焦点转移回中国市场，对中国的主要资产指数利用基于周期三因子的Softmax方法进行回测分析。本文所采用的中国主要大类资产指数包括股票、债券和大宗商品共三大类8个细分指数，具体如下图表所示。其中，选取沪深300，中证500和中证1000分别作为大中小盘股票资产的代表；选取中债综合财富指数代表中国债券市场指数；选取南华工业品指数，南华农产品指数，南华金属指数和南华能化指数作为中国大宗商品市场指数的代表。数据的起止时间为2005年1月至2018年3月，数据采集频率为月度。

与全球主要股债指数和全球大类资产等权指数资产配置的回测方式相同，我们选择滞后5期、滞后1期、当期和领先1期的同比增加值和同比拟合值共4对主要特征指标用于构建Softmax模型输入的“先行指标”集合。回测中依次选择3对主要特征指标构建单一Softmax模型，共计4个Softmax模型用于全球主要股债指数资产配置回测。

 

回测的方式为动态预测，回测区间为2011年9月至2018年3月。在每个时刻t，利用历史70个月的数据训练Softmax模型，并根据模型的预测结果调整资产配置比例。单一Softmax模型的回测结果如下图表所示：

可以看到，对于上述8个中国主要大类资产指数，基于上述4个单一Softmax模型结果的资产配置策略的回测年化收益率全部超过了基准的等权配置策略，其中，模型Softmax-[-5 0 1]的年化收益率最高，达到了20.11%，且其最大回撤同样为所有资产配置策略中最低，仅为16.76%；与此同时，该策略的夏普比率同样优于基准策略。于此同时，在进行配置的资产种类较多的情况下，基于单一Softmax模型的资产配置策略的各项风险收益指标均超过了单指标策略，显示出单一Softmax模型在挖掘资产周期状态同未来表现间内在逻辑的有效性。

然而，基于上述四个单一Softmax模型预测结果的资产配置策略的回测结果仍存在一定差异，例如，模型Softmax-[-5 -1 0]，Softmax-[-5 -1 1]和Softmax-[-1 0 1]虽然取得了超过基准策略的年化收益率，但其最大回撤均达到了31.69%，超过了基准策略，为所有模型中最高；其中，模型Softmax-[-1 0 1]的夏普比率为上述4个基于Softmax预测结果的资产策略中最低，其结果劣于基准的等权配置策略，说明该Softmax模型未能有效的对资产未来表现进行判断。

 

另一方面，与全球大类资产等权指数回测结果相比，表现最好的单一Softmax模型所依赖的先行指标集合存在差异。具体而言，对于全球大类资产等权指数，建立在滞后5期、滞后1期和当期同比增加值和同比拟合值的模型Softmax-[-5 -1 0]表现最好，而在中国主要大类资产的回测中，模型Softmax-[-5 0 1] 取得了最为突出的回测效果。因此，我们同样的到了结论：基于Softmax模型预测结果的资产配置策略回测效果依赖于先行指标集合的选取，且对于不同的大类资产指数，取得最优效果的先行指标集合存在差异。

 

为了降低Softmax模型结果对于先行指标选取的依赖，本研究同样采用了集成学习的方式，在每个时刻t，对于基于不同先行指标集合的单一Softmax模型给出的预测结果进行加总，进而输出集成后的预测结果；同时根据集成的资产表现的预测结果进行资产配置。集成学习-Softmax模型的回测结果如下图表所示：

其中Softmax-Bagging表示基于集成学习-Softmax模型资产配置策略的回测结果。可以看到，集成学习模型在中国大类资产等权指数配置的回测中同样能够在保持与基准等权配置策略最大回撤水平相当的条件下提升资产组合的年化收益率和夏普比率。

2018年下半年的资产表现排序的预测结论

根据前文所述，我们利用机器学习中的Softmax方法，深度挖掘周期状态与资产收益之间的内在联系。同时通过仿真数据和真实资产数据的回测分析，验证了Softmax方法把握该内在联系的有效性。本节将利用周期的外推延拓性质，对于资产未来的周期状态进行预测；并将资产周期状态的预期结果作为Softmax模型的输入，根据模型输出的概率结果对于资产未来表现进行判断。

 

根据周期三因子定价模型，资产每个时刻的周期状态可用正弦序列表示，其相位状态是关于时间的线性函数。因此，对于任意时刻T，如果我们已知资产的周期频率w 和相位信息，我们可以得到未来任意时刻T+n周期状态相位信息的估计值：

该性质称为周期因子的外推延拓性质。利用延拓后的周期相位信息，我们可以得到未来任意时刻资产周期状态的估计值（在T时刻已知的信息下），进而可以计算上文提到的各类先行指标的估计值。将上述估计值作为当期Softmax模型的输入，则可得到Softmax模型对于资产未来任意时刻表现的预期。

具体而言，在时刻T，基于周期三因子的外推延拓性质，我们可以得到任意大类资产周期三因子状态在未来T+n时刻的预期值，进而得到评价T+n时刻每类资产预期收益的先行指标；基于时刻T之前的历史数据，我们可以对于不同的先行指标输入的Softmax模型；将先行指标作为训练完毕的Softmax模型的输入，可以计算未来每个时点各项资产取得最好表现的概率估计值，依据该估计值对于资产未来的表现进行预测和排序。

利用上述方法，下文依次对于全球大类资产等权指数、全球主要股债细分资产指数和中国主要细分资产指数2018年5月至2018年12月的表现进行预测。下图表展示了全球大类资产等权指数2018年5月至12月的预期表现汇总：

2018年5月至12月全球大类资产等权指数预期表现结果显示：代表债券大类资产的债券等权指数指数表现最强，且随着时间的推移，债券指数表现超过股票和大宗商品等权指数的概率越高，说明在未来一段时间债券资产存在较大的投资机会。大宗商品等权指数的预期概率变化范围不大；上半年股票资产仍存在一定的投资机会，但随后其评分显著下降，18年9月后预期表现不如大宗商品，这与先前报告 “大宗商品未来或将高位震荡，风险主要来源于股票市场” 的观点不谋而合。

 

进一步，本文根据全球主要股债细分资产指数的历史数据，对于10只股票和债券资产的代表指数2018年5月至12月的预期表现进行分析。可以看到，仅从全球股债市场看，未来8个月中债券大类资产的优势更加明显，具体而言，代表中债资产的中国总回报指数综合表现最好，其表现最优的概率最高达到了0.597，为所有细分资产中最高；泛欧总回报在18年后期有较好表现，其取得最优表现的概率在18年9月至11月一度小幅超过了中国总回报指数。股票细分资产中，上证综指在18年5月至6月存在一定投资机会，随后该指数的概率估计值显著下降；其余指数表现最优的概率值均未超过10%。

最后，本文利用中国主要细分资产指数的历史数据训练Softmax模型，对于8只代表指数2018年5月至2018年12月的预期表现进行预测。可以看到，对于中国主要细分资产，2018年下半年债券资产的预期表现依然强势。代表债券资产的中债综合财富指数的评价值在2018年6月超过股票资产后，一直呈上涨趋势。股票资产在2018年5至6月或仍存一定投资价值，代表大盘股的沪深300指数的评价值在5、6月仍然超过40%，代表小盘股的中证1000指数的评价值在5月也接近10%；随后，股票细分资产指数表现最优的概率显著下降，预期成为市场风险的主要来源。