PRL速递：机器学习寻找隐藏的对称性

摘要

隐藏对称性被定义为，只有在必须被发现的新坐标系中才会显现的对称性。本文提出一种自动寻找隐藏对称的方法，其核心思想是将不对称性量化为对某些偏微分方程的破坏，并在所有可逆变换（参数化为可逆神经网络）的空间中以数值方式最小化这种破坏。例如，该方法重新发现了著名的 Gullstrand-Painlevé 度规，该度规显示了非旋转黑洞史瓦西度规中隐藏的平移对称性，以及哈密顿性（Hamiltonicity）、模块化（modularity）和其他传统上不被视为对称性的简化特征。

研究领域：机器学习，对称性

潘佳栋 | 作者

邓一雪 | 编辑

论文题目：
Machine Learning Hidden Symmetries
论文链接：
https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.128.180201

1. 隐藏的对称性

菲利普·安德森（Philip Anderson）有句名言：“说物理学是关于对称性的研究只是稍微夸张了一点”。事实证明，在物理学和机器学习中，发现对称性对加深理解和有效解决问题都非常有用。

发现对称性是有用的，但也是困难的，因为它们往往不是显性的，而是隐藏的，只有在进行适当的坐标变换后才会被发现。例如，在史瓦西发现黑洞的史瓦西度规后，人们花了17年时间才发现它具有隐藏的平移对称性，即通过巧妙的坐标变换，可以使空间截面具有平移不变性，从而加深了我们对黑洞的理解。

作为一个更简单的例子，图1显示了两个坐标系中的同一个矢量场，其中旋转对称性分别是显性和隐藏的。

图1：一维谐波振荡器相空间流矢量场 f(x, p) = (p, -x)。f 的旋转对称性在（a）中显现出来，在（b）中是隐藏的。算法可以通过自动发现从（b）到（c）的坐标转换，来揭示隐藏的对称性。

2. 机器学习算法寻找对称性

研究人员提出了一种机器学习算法，用于自动发现隐藏的对称性（图2）。这里的对称性定义非常广泛，对应于满足微分方程的数据，不仅包括相对于任意李群的不变性（invariance）和等价性（equivariance），还包括模块化（modularity）和哈密尔顿性（Hamiltonicity）。如果发现了一个坐标变换，使这种简化的特性显现出来，不仅可以加深我们对有关系统的理解，还可以为研究它提供一个更有效的数值方法库。

图2：发现隐藏对称性的算法的工作流程示意图

研究人员在6个物理学实例上测试算法，范围从经典力学到广义相对论。如图3所示，在测试实例中隐藏的对称性都被算法重新发现了。

图3：研究人员的算法发现了六个测试系统中的所有隐藏对称性。最后一张图显示，神经网络准确地学习了Gullstrand-Painleve变换。

3. 探索未知的对称性

在未来的工作中，在实验和数值模拟的数据中寻找隐藏的对称性将是有趣的。尽管他们的例子中一次涉及的对称性不超过两个，但自动搜索整个常见的对称性库是很简单的，采用最适合的对称性并递归搜索更多的隐藏对称性，直到找到所有的对称性。

目前，该方法只能从预先指定的候选列表中搜索对称性，而不能搜索未知的对称性。在未来的工作中，让未知的对称性也能被搜索到将是非常有趣的。换句话说，如果有任何微分方程被适当变换的数据集所满足，人们将寻求自动发现变换和微分方程。

论文 Abstract

We present an automated method for finding hidden symmetries, defined as symmetries that become manifest only in a new coordinate system that must be discovered. Its core idea is to quantify asymmetry as violation of certain partial differential equations, and to numerically minimize such violation over the space of all invertible transformations, parametrized as invertible neural networks. For example, our method rediscovers the famous Gullstrand-Painlevé metric that manifests hidden translational symmetry in the Schwarzschild metric of nonrotating black holes, as well as Hamiltonicity, modularity, and other simplifying traits not traditionally viewed as symmetries.

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