当我们谈论高斯混合模型（后面，简写为 GMM）时，了解 KMeans 算法的工作原理是必不可少的。因为 GMM 与 KMeans 非常相似，所以它更可能是 KMeans 的概率版本。 这种概率特征使 GMM 可以应用于 KMeans 无法解决的许多复杂问题。
总之，KMeans 有以下限制：
1.它假设类簇是球形的并且大小相同，这在大多数现实世界的场景中是无效的。
2.它是一种硬聚类方法。 这意味着每个数据点只分配给一个簇。
由于这些限制，我们在进行机器学习项目时应该了解 KMeans 的替代方案。 在本文中，我们将探索 KMeans 聚类的最佳替代方案之一，称为高斯混合模型。
通过这篇文章，我们将了解以下几点。
1.高斯混合模型 (GMM) 算法的工作原理——通俗易懂。
正如我前面提到的，我们可以将 GMM 称之为概率版本的 KMeans，因为 KMeans 和 GMM 的初始化和训练过程是相同的。但是，KMeans 使用基于距离的方法，而 GMM 使用概率方法。GMM 中有一个主要假设：数据集由多个高斯分布生成，换句话说，是高斯分布的混合。
上述分布通常称为多模型分布。 每个峰代表我们数据集中不同的高斯分布或聚类。 但问题是，
我们如何估计这些分布？
在回答这个问题之前，让我们先创建一些高斯分布。请注意，我正在生成多元正态分布；它是单变量正态分布的更高维扩展。
让我们定义数据点的均值和协方差。使用均值和协方差，我们可以生成如下分布。
mean1 = [0, 0]mean2 = [2, 0]cov1 = [[1, .7], [.7, 1]]cov2 = [[.5, .4], [.4, .5]]
data1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov1, size=1000)data2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov2, size=1000)
让我们绘制数据
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.scatter(data1[:,0],data1[:,1])plt.scatter(data2[:,0],data2[:,1])
sns.kdeplot(data1[:, 0], data1[:, 1], levels=20, linewidth=10, color='k', alpha=0.2)sns.kdeplot(data2[:, 0], data2[:, 1], levels=20, linewidth=10, color='k', alpha=0.2)
plt.grid(False)plt.show()
正如您在这里看到的，我们使用均值和协方差矩阵生成了随机高斯分布。 如果反转这个过程怎么样？
这正是 GMM 正在做的事情。 但是如何实现呢？
因为，一开始，我们对于类簇以及相关的均值和协方差矩阵没有任何了解。
好吧，它是根据以下步骤发生的，
1.为给定的数据集确定聚类的数量（为此，我们可以使用领域知识或其他方法，例如 BIC/AIC）。假设我们有 1000 个数据点，我们将组数设置为 2。
2.初始化每个集群的均值、协方差和权重参数。（我们将在后面的部分中对此进行更多探讨）
3.使用期望最大化算法执行以下操作，
有了这些信息，就结束了对 GMM 算法的非数学解释。
GMM 的核心在于上一节中描述的期望最大化 (EM) 算法。让我们演示一下 EM 算法在 GMM 中的应用。
步骤01：初始化均值、协方差和权重参数
1.mean (μ): 随机初始化。
2.协方差 (Σ)：随机初始化
3.权重（混合系数）(π)：每个类的分数是指特定数据点属于每个类的可能性。 一开始，这对所有类簇都是相同的。 假设我们用三个分量拟合 GMM。 在这种情况下，每个组件的权重参数可能设置为 1/3，从而导致概率分布为 (1/3, 1/3, 1/3)。
步骤02：期望步骤（E步骤）
对于每个数据点𝑥𝑖：
使用以下等式计算数据点属于簇 (𝑐) 的概率。k 分布的个数。
其中𝜋_𝑐是高斯分布c的混合系数（有时称为权重），它在前一阶段被初始化，𝑁（𝒙|𝝁，𝚺）描述了高斯分布的概率密度函数（PDF），均值为𝜇和 关于数据点 x 的协方差 Σ； 我们可以如下表示。
E-step 使用模型参数的当前估计值计算这些概率。这些概率通常称为高斯分布的“责任”。它们由变量 r_ic 表示，其中 i 是数据点的索引，c 是高斯分布的索引。责任衡量第 c 个高斯分布生成第 i 个数据点的可能性。这里使用条件概率，更具体地说，是贝叶斯定理。
让我们举一个简单的例子。假设我们有 100 个数据点，需要将它们聚类成两组。我们可以这样写 r_ic(i=20,c=1) 。其中 i 代表数据点的索引，c 代表我们正在考虑的簇的索引。
请注意，在开始时，𝜋_𝑐 初始化为每个簇 c = 1,2,3,..,k 相等。在我们的例子中，𝜋_1 = 𝜋_2 = 1/2。
E-step 的结果是数值集合，集合中每个值代表每个数据点和每个高斯分布的责任大小。这些责任在 M 步中用于更新模型参数的估计。
步骤03：最大化步骤（M步）
在此步骤中，算法使用高斯分布的责任（在 E 步中计算）来更新模型参数的估计值。
M-step按如下方式更新参数的估计：
这个更新的估计在下一个 E-step 中用于计算数据点的新的责任值。
依此类推，此过程将重复直到算法收敛，也就是模型参数从一次迭代到下一次迭代没有显着变化。
让我们将以上内容总结成一个简单的图表，
在编码方面不用担心;
每个方程式只需要一行代码就能实现。 让我们开始使用 Python 从头开始实现 GMM。
首先，让我们创建一个假数据集。在本节中，我将为一维数据集实现 GMM。
import numpy as np
n_samples = 100mu1, sigma1 = -5, 1.2 mu2, sigma2 = 5, 1.8 mu3, sigma3 = 0, 1.6
x1 = np.random.normal(loc = mu1, scale = np.sqrt(sigma1), size = n_samples)x2 = np.random.normal(loc = mu2, scale = np.sqrt(sigma2), size = n_samples)x3 = np.random.normal(loc = mu3, scale = np.sqrt(sigma3), size = n_samples)
X = np.concatenate((x1,x2,x3))
让我们创建一个辅助函数来绘制我们的数据。
from scipy.stats import norm
def plot_pdf(mu,sigma,label,alpha=0.5,linestyle='k--',density=True): """ Plot 1-D data and its PDF curve.
"""
X = norm.rvs(mu, sigma, size=1000) plt.hist(X, bins=50, density=density, alpha=alpha,label=label)
x = np.linspace(X.min(), X.max(), 1000) y = norm.pdf(x, mu, sigma) plt.plot(x, y, linestyle)
绘制生成的数据如下。 请注意，我没有绘制数据本身，而是绘制了每个样本的概率密度。
plot_pdf(mu1,sigma1,label=r"$\mu={} \ ; \ \sigma={}$".format(mu1,sigma1))plot_pdf(mu2,sigma2,label=r"$\mu={} \ ; \ \sigma={}$".format(mu2,sigma2))plot_pdf(mu3,sigma3,label=r"$\mu={} \ ; \ \sigma={}$".format(mu3,sigma3))plt.legend()plt.show()
让我们构建上一节中描述的每个步骤，
步骤 01：初始化均值、协方差和权重
def random_init(n_compenents): """Initialize means, weights and variance randomly and plot the initialization """ pi = np.ones((n_compenents)) / n_compenents means = np.random.choice(X, n_compenents) variances = np.random.random_sample(size=n_compenents)
plot_pdf(means[0],variances[0],'Random Init 01') plot_pdf(means[1],variances[1],'Random Init 02') plot_pdf(means[2],variances[2],'Random Init 03') plt.legend() plt.show() return means,variances,pi
步骤02：期望步骤（E步骤）
def step_expectation(X,n_components,means,variances): """E Step Parameters ---------- X : array-like, shape (n_samples,) The data. n_components : int The number of clusters means : array-like, shape (n_components,) The means of each mixture component. variances : array-like, shape (n_components,) The variances of each mixture component. Returns ------- weights : array-like, shape (n_components,n_samples) """ weights = np.zeros((n_components,len(X))) for j in range(n_components): weights[j,:] = norm(loc=means[j],scale=np.sqrt(variances[j])).pdf(X) return weights
在这个函数之后，我们介绍了我们在 E 步骤中讨论的前两个方程。 在这里，我们为当前模型参数均值和方差生成了高斯分布。 我们通过使用 scipy 的 stat 模块实现了这一点。 之后，我们使用pdf方法计算属于每个簇的每个数据点的可能性。
步骤03：最大化步骤（M步）
def step_maximization(X,weights,means,variances,n_compenents,pi): """M Step Parameters ---------- X : array-like, shape (n_samples,) The data. weights : array-like, shape (n_components,n_samples) initilized weights array means : array-like, shape (n_components,) The means of each mixture component. variances : array-like, shape (n_components,) The variances of each mixture component. n_components : int The number of clusters pi: array-like (n_components,) mixture component weights Returns ------- means : array-like, shape (n_components,) The means of each mixture component. variances : array-like, shape (n_components,) The variances of each mixture component. """ r = [] for j in range(n_compenents):
r.append((weights[j] * pi[j]) / (np.sum([weights[i] * pi[i] for i in range(n_compenents)], axis=0)))
means[j] = np.sum(r[j] * X) / (np.sum(r[j])) variances[j] = np.sum(r[j] * np.square(X - means[j])) / (np.sum(r[j])) pi[j] = np.mean(r[j])
return variances,means,pi
让我们实现训练循环。
def train_gmm(data,n_compenents=3,n_steps=50, plot_intermediate_steps_flag=True): """ Training step of the GMM model Parameters ---------- data : array-like, shape (n_samples,) The data. n_components : int The number of clusters n_steps: int number of iterations to run """ means,variances,pi = random_init(n_compenents)
for step in range(n_steps): weights = step_expectation(data,n_compenents,means,variances) variances,means,pi = step_maximization(X, weights, means, variances, n_compenents, pi)
plot_pdf(means,variances)
当我们开始模型训练时，我们会根据我们设置的n_steps参数做E步和M步。但在实际用例中，你会更频繁地使用 GMM 的 scikit-learn 版本。 在那里您可以找到其他参数，例如
tol：定义模型的停止标准。当下限平均增益低于 tol 参数时，EM 迭代将停止。init_params：用于初始化权重的方法
好吧，让我们看看我们手工制作的 GMM 表现如何。
在上图中，红色虚线表示原始分布，而其他图表示学习到的分布。第 30 次迭代后，我们可以看到我们的模型在这个玩具数据集上表现良好。
总结
本文旨在对高斯混合模型进行全面的指导； 但是，我们鼓励读者尝试不同的机器学习算法，因为没有一种最佳算法可以很好地解决所有问题。
此外，我们选择的机器学习算法的复杂性也值得注意。 GMM 的一个常见问题是它不能很好地扩展到大型数据集。
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