【机器学习】用于时间序列概率预测的蒙特卡罗模拟

蒙特卡罗模拟这个名称源自于摩纳哥王国的蒙特卡罗城市，这里曾经是世界著名的赌博天堂。在20世纪40年代，著名科学家乌拉姆和冯·诺依曼参与了曼哈顿计划，他们需要解决与核反应堆中子行为相关的复杂数学问题。他们受到了赌场中掷骰子的启发，设想用随机数来模拟中子在反应堆中的扩散过程，并将这种基于随机抽样的计算方法命名为"蒙特卡罗模拟"（Monte Carlo simulation）。

蒙特卡罗模拟的核心思想是通过大量重复随机试验，从而近似求解分析解难以获得的复杂问题。它克服了传统数值计算方法的局限性，能够处理非线性、高维、随机等复杂情况。随着计算机性能的飞速发展，蒙特卡罗模拟的应用范围也在不断扩展。

在金融领域，蒙特卡罗模拟被广泛用于定价衍生品、管理投资组合风险、预测市场波动等。在工程设计中，它可以模拟材料力学性能、流体动力学等复杂物理过程。在物理学研究中，从粒子物理到天体物理，都可以借助蒙特卡罗模拟进行探索。此外，蒙特卡罗模拟还在机器学习、计算生物学、运筹优化等领域发挥着重要作用。

蒙特卡罗模拟的过程基本上是这样的：

1. 定义模型：首先，需要定义要模拟的系统或过程，包括方程和参数。
2. 生成随机样本：然后根据拟合的概率分布生成随机样本。
3. 进行模拟：针对每一组随机样本，运行模型模拟系统的行为。
4. 分析结果：运行大量模拟后，分析结果以了解系统行为。

当我们演示它的工作原理时，我将演示使用它来模拟未来股票价格的两种分布：高斯分布和学生 t 分布。这两种分布通常被量化分析人员用于股票市场数据。

在这里，我们已经加载了苹果公司从2020年到2024年每日股票价格的数据。

import yfinance as yf
orig = yf.download(["AAPL"], start="2020-01-01", end="2024-12-31")
orig = orig[('Adj Close')]
orig.tail()

[*********************100%%**********************]  1 of 1 completed
Date
2024-03-08    170.729996
2024-03-11    172.750000
2024-03-12    173.229996
2024-03-13    171.130005
2024-03-14    173.000000
Name: Adj Close, dtype: float64

可以通过价格序列来计算简单的日收益率，并将其呈现为柱状图。

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
returns = orig.pct_change()
last_price = orig[-1]
returns.hist(bins=100)

标准正态分布拟合收益率

股票的历史波动率通常是通过计算股票每日收益率的标准差来进行。我们假设未来的波动率与历史波动率相似。而直方图则呈现了以0.0为中心的正态分布的形状。为简单起见，我们将该分布假定为均值为0，标准差为0的高斯分布。接下来，我们会计算出标准差（也称为日波动率）。因此，预计明天的日收益率将会是高斯分布中的一个随机值。

daily_volatility = returns.std()
rtn = np.random.normal(0, daily_volatility)

第二天的价格是今天的价格乘以 (1+return %)：

price = last_price * (1  + rtn)

以上是股票价格和收益的基本财务公式。我们将使用蒙特卡洛模拟。为了预测明天的价格，我们可以随机抽取另一个收益率，从而推算后天的价格。通过这个过程，我们可以得出未来 200 天可能的价格走势之一。当然，这只是一种可能的价格路径。我们可以重复这个过程，得出另一条价格路径。我们将重复这个过程 1,000 次，得出 1,000 条价格路径。

import warnings
warnings.simplefilter(action='ignore', category=pd.errors.PerformanceWarning)

num_simulations = 1000
num_days = 200
simulation_df = pd.DataFrame()
for x in range(num_simulations):
    count = 0    
    # The first price point
    price_series = []
    rtn = np.random.normal(0, daily_volatility)
    price = last_price * (1  + rtn)
    price_series.append(price)
    # Create each price path
    for g in range(num_days):
        rtn = np.random.normal(0, daily_volatility)
        price = price_series[g] * (1  + rtn)
        price_series.append(price)
    # Save all the possible price paths
    simulation_df[x] = price_series
fig = plt.figure()
plt.plot(simulation_df)
plt.xlabel('Number of days')
plt.ylabel('Possible prices')
plt.axhline(y = last_price, color = 'b', linestyle = '-')
plt.show()

分析结果如下: 价格起始于179.66美元。大部分价格路径相互交叠。模拟价格范围为100美元至500美元。

假设我们想知道90%情况下（5%到95%）出现的"正常"价格范围，可以使用量化方法得到上限和下限，从而评估超出这些极端价格。

upper = simulation_df.quantile(.95, axis=1)
lower = simulation_df.quantile(.05, axis=1)
stock_range = pd.concat([upper, lower], axis=1)

fig = plt.figure()
plt.plot(stock_range)
plt.xlabel('Number of days')
plt.ylabel('Possible prices')
plt.axhline(y = last_price, color = 'b', linestyle = '-')
plt.show()

学生t分布拟合收益率

股票价格回报偶尔会出现极端事件，位于分布两端。标准正态分布预计 95% 的收益率发生在两个标准差之内，5% 的收益率发生在两个标准差之外。如果极端事件发生的频率超过 5%，分布看起来就会 "变胖"。这就是统计学家所说的肥尾，定量分析人员通常使用学生 t 分布来模拟股价收益率。

学生 t 分布有三个参数：自由度参数、标度和位置。

• 自由度：自由度参数表示用于估计群体参数的样本中独立观测值的数量。自由度越大，t 分布的形状越接近标准正态分布。在 t 分布中，自由度范围是大于 0 的任何正实数。
• 标度：标度参数代表分布的扩散性或变异性，通常是采样群体的标准差。
• 位置：位置参数表示分布的位置或中心，即采样群体的平均值。当自由度较小时，t 分布的尾部较重，类似于胖尾分布。

用学生 t 分布来拟合实际股票收益率。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import t

returns = orig.pct_change()

# Number of samples per simulation
num_samples = 100

# distribution fitting
returns = returns[1::] # Drop the first element, which is "NA"
params = t.fit(returns[1::]) # fit with a student-t

# Generate random numbers from Student's t-distribution
results = t.rvs(df=params[0], loc=params[1], scale=params[2], size=1000)
# Generate random numbers from Student's t-distribution
results = t.rvs(df=params[0], loc=params[1], scale=params[2], size=1000)
print('degree of freedom = ', params[0])
print('loc = ', params[1])
print('scale = ', params[2])

参数如下

• 自由度 = 3.735
• 位置 = 0.001
• 标度 = 0.014

我们将使用这些参数来预测 Student-t 分布。然后，我们将用 Student-t 分布绘制实际股票收益分布图。

returns.hist(bins=100,density=True, alpha=0.6, color='b', label='Actual returns distribution')

# Plot histogram of results
plt.hist(results, bins=100, density=True, alpha=0.6, color='g', label='Simulated Student/t distribution')

plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Density')
plt.title('Actual returns vs. Projections with a Student\'s t-distribution')
plt.legend(loc='center left')
plt.grid(True)
plt.show()

实际回报与预测相当接近：

与之前一样，我们将模拟未来 200 天的价格走势。

import warnings
warnings.simplefilter(action='ignore', category=pd.errors.PerformanceWarning)

num_simulations = 1000
num_days = 200
simulation_student_t = pd.DataFrame()
for x in range(num_simulations):
    count = 0
    # The first price point
    price_series = []
    rtn = t.rvs(df=params[0], loc=params[1], scale=params[2], size=1)[0]
    price = last_price * (1  + rtn)
    price_series.append(price)
    # Create each price path
    for g in range(num_days):
        rtn = t.rvs(df=params[0], loc=params[1], scale=params[2], size=1)[0]
        price = price_series[g] * (1  + rtn)
        price_series.append(price)
    # Save all the possible price paths
    simulation_student_t[x] = price_series
fig = plt.figure()
plt.plot(simulation_student_t)
plt.xlabel('Number of days')
plt.ylabel('Possible prices')
plt.axhline(y = last_price, color = 'b', linestyle = '-')
plt.show()

可以绘制出学生 t 的蒙特卡罗模拟置信区间上下限（95%、5%）：

upper = simulation_student_t.quantile(.95, axis=1)
lower = simulation_student_t.quantile(.05, axis=1)
stock_range = pd.concat([upper, lower], axis=1)

fig = plt.figure()
plt.plot(stock_range)
plt.xlabel('Number of days')
plt.ylabel('Possible prices')
plt.title('The upper 95% and lower 5%')
plt.axhline(y = last_price, color = 'b', linestyle = '-')
plt.show()