强关联效应在凝聚态物理研究中备受关注。一方面，强关联效应可以诱导新奇的物理现象，另一方面，强关联效应的理论描述十分具有挑战性。分数量子霍尔效应就是一个体现强关联效应的典型例子。在强磁场极限下，大量电子被限制在最低朗道能级，其相互作用导致了诸如 1/3、2/5 等分数量子霍尔态的出现。然而，在实际情况下，磁场并非无限强，因此高朗道能级的混合不可忽略，并可能对分数量子霍尔态产生显著影响，诱发如Wigner晶体相变等新奇物理现象。目前，处理朗道能级混合的理论计算方法面临诸多困难。一些方法只能处理少量高朗道能级的贡献，另一些方法则高度依赖于高质量的试探波函数。这些问题限制了对分数量子霍尔态及其他相关新奇物态的研究。因此，发展一种不依赖先验试探波函数、且能够有效处理大量高朗道能级混合的计算方法，显得尤为必要。
团队基于实空间深度学习量子蒙特卡洛方法，构建了专门用于研究分数量子霍尔效应的神经网络波函数框架——DeepHall（图1）。该框架通过在实空间中表示分数量子霍尔态，充分发挥了神经网络的强大表达能力，从而能够自然地处理多个高朗道能级的混合效应。此外，DeepHall不依赖任何先验试探波函数，仅需通过蒙特卡洛采样生成数据点并优化波函数的变分能量，即可获得高精度的基态波函数。
图1. (a) 球面几何系统，电子被限制在球面上，球心放置一个磁单极子 (b) DeepHall 框架示意图 (c) 朗道能级混合示意图
为了验证该算法的有效性和准确性，团队在 1/3 和 2/5 分数量子霍尔态下进行了多方面的测试。如图2a所示，在不同的朗道能级混合参数 κ 下，DeepHall 框架计算得到的能量始终低于仅考虑最低朗道能级的直接对角化方法的结果，与固定相位扩散蒙特卡洛方法（fp-DMC）保持一致。特别是在较大的朗道能级混合参数 κ 下，DeepHall 能够获得更低的能量，展现出其优越性。此外，随着朗道能级混合参数 κ 的增大，系统的对关联函数（图2b）逐渐表现出更接近晶体的行为，这暗示了系统可能从分数量子霍尔液体态向晶体态转变的趋势。
图2. (a) 不同朗道能级混合参数 κ 下，DeepHall 和 fp-DMC 得到的单个电子的能量对比。直接对角化的能量结果与 κ 无关，用虚线表示 (b) 不同 κ 下的对关联函数。计算基于 1/3 填充、包含 6 个电子的系统。
进一步地，团队利用 DeepHall 方法探索了不同朗道能级混合参数 κ 下波函数的行为及其对分数量子霍尔效应带电激发的影响。研究发现，在强朗道能级混合的情况下，系统的准粒子和准空穴激发导致的密度涨落显著增强。对输运能隙的预测结果表明，DeepHall 的结果与 fp-DMC 方法基本一致，但在更强的朗道能级混合条件下，DeepHall 得到了更小的能隙值。
本研究展示了深度学习方法在处理复杂朗道能级混合问题时的潜力，成功获得了高精度的基态波函数，为分数量子霍尔态的研究提供了强有力的计算方法。近年来，陈基课题组与合作者在深度学习量子蒙特卡洛算法的发展中已经取得一系列进展与突破，包括在国际上率先开发了深度学习扩散蒙特卡洛程序（JaQMC）[Nature Communnications 14, 1860 (2023)]，首创了适用于固体凝聚态系统的DeepSolid神经网络波函数[Nature Communcations 13, 7895 (2022); Physical Review Letters 132, 176401 (2024)]，提出了能普遍提升神经网络波函数计算效率的前传拉普拉斯算法[Nature Machine Intelligence 6, 209 (2024)]，提出了可以实现自旋态纯化和激发态高效计算的S+自旋罚算法[Nature Computational Science 4, 910 (2024)]，以及改进了深度学习量子蒙特卡洛中原子间力的计算方法[Faraday Discussions 254, 529 (2024)]等。这些算法的提出以及程序的发展已经为真实凝聚态物理体系的关联电子结构计算提供了强有力的工具，而本工作将深度学习量子蒙特卡洛进一步拓展到分数量子霍尔系统这一类具有不同复杂度的问题，充分展示了该方法可能被扩展到其他新奇物态的计算研究中的巨大潜力。这些新奇的物态不仅包括各类真实的材料体系，也包括各类量子多体模型和各类奇异的关联量子态，因此具有重要的科学价值和应用前景。
北京大学物理学院2023级博士研究生钱昱冰和中国科学院物理研究所赵桐周博士是本工作所发表论文的共同第一作者，赵桐周、字节跳动研究部李向博士和陈基是共同通讯作者。论文合作者还包括宾夕法尼亚州立大学张剑萧博士和中国科学院物理研究所向涛院士。研究工作得到了国家自然科学基金、国家重点研发计划、北京市自然科学基金、中国博士后基金的资助。
