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引言
自 1952 年 Harry Markowitz 提出现代投资组合理论以来，均值-方差框架一直主导着投资组合构建领域。然而，传统方差作为风险度量存在致命缺陷：它同等惩罚收益和损失，忽视极端尾部事件，且假设收益呈正态分布。
本文将介绍如何使用 Python 实现更先进的风险度量方法，包括半方差（Semivariance）、条件风险价值（CVaR）、最大回撤（Maximum Drawdown）等，帮助你构建真正能抵御灾难性损失的投资组合。
为什么方差是有缺陷的风险度量？
传统均值-方差优化存在四个核心问题：
第一，对称性问题。方差同等对待上涨和下跌，10% 的下跌和 10% 的上涨在方差计算中权重相同，这与投资者的实际感受完全不符。
第二，聚焦中间值。方差衡量的是围绕均值的离散程度，而投资者真正关心的是尾部风险——那些可能抹去多年收益的灾难性损失。
第三，分布假设。方差假设收益呈正态分布，但真实市场收益具有肥尾特征和偏斜性。
第四，路径无关性。方差不关心收益的顺序，但稳步下跌和突然崩盘给投资者的感受截然不同。
方法一：下行风险组合优化
下偏矩（Lower Partial Moment，LPM）是下行风险的广义形式，其数学定义为：
LPM_α = E[(τ - R)₊^α]
其中 τ 是灾难阈值，α 是风险态度参数。当 α = 2 时，即为半方差（Semivariance）。
import cvxpy as cp
import numpy as np
def optimize_semivariance_portfolio
(returns, tau=0, alpha=2, lambda_risk=1.0):
"""
使用下行风险度量优化投资组合
参数说明：
returns: 历史收益率矩阵，形状为 (T, N)，T 为时间周期数，N 为资产数量
tau: 灾难阈值（最低可接受收益率）
alpha: 风险态度参数（1=线性，2=二次，3=三次）
lambda_risk: 风险厌恶系数
返回：
最优投资组合权重
"""
T, N = returns.shape
mu = returns.mean(axis=0) # 计算预期收益率
# 定义决策变量
w = cp.Variable(N) # 投资组合权重
s = cp.Variable(T) # 下行偏差的辅助变量
# 目标函数：最大化收益 - λ * 下行风险
expected_return = mu @ w
downside_risk = (1/T) * cp.sum(cp.power(s, alpha))
objective = cp.Maximize(expected_return - lambda_risk * downside_risk)
# 约束条件
constraints = [
cp.sum(w) == 1, # 满仓约束
w >= 0, # 仅做多约束
s >= 0, # 非负偏差
s >= tau - returns @ w # 捕捉下行偏差
]
# 求解优化问题
problem = cp.Problem(objective, constraints)
problem.solve(solver=cp.ECOS)
return w.value
# 示例：模拟 252 个交易日、10 种资产的收益率数据
np.random.seed(42)
returns = np.random.randn(252, 10) * 0.01 + 0.0003
# 使用不同的 α 值进行优化
weights_linear = optimize_semivariance_portfolio(returns, alpha=1) # 线性惩罚
weights_semi = optimize_semivariance_portfolio(returns, alpha=2) # 半方差
weights_cubic = optimize_semivariance_portfolio(returns, alpha=3) # 三次惩罚
print("半方差优化权重：")
print(np.round(weights_semi, 4))
方法二：尾部风险组合优化（CVaR）
条件风险价值（CVaR）也称为预期损失（Expected Shortfall），它衡量的是超过 VaR 阈值后的平均损失。CVaR 的优势在于它是凸函数，可以高效求解。
def optimize_cvar_portfolio(returns, alpha=0.95, lambda_risk=1.0):
"""
使用条件风险价值（CVaR）优化投资组合
CVaR 表示在最差的 (1-α)% 情况下的平均损失
例如 α=0.95 时，我们最小化最差 5% 情景下的平均损失
参数说明：
returns: 历史收益率矩阵，形状为 (T, N)
alpha: 置信水平（常用 0.90、0.95 或 0.99）
lambda_risk: 风险厌恶系数
返回：
最优权重、VaR 值、CVaR 值
"""
T, N = returns.shape
mu = returns.mean(axis=0)
# 决策变量
w = cp.Variable(N) # 投资组合权重
tau = cp.Variable() # VaR 阈值
u = cp.Variable(T) # 超额损失变量
# CVaR 目标函数
expected_return = mu @ w
cvar = tau + (1/(1
-alpha)) * (1/T) * cp.sum(u)
objective = cp.Maximize(expected_return - lambda_risk * cvar)
# 约束条件
constraints = [
cp.sum(w) == 1, # 预算约束
w >= 0, # 仅做多
u >= 0, # 非负超额
u >= -returns @ w - tau # 捕捉超过 VaR 的损失
]
# 求解
problem = cp.Problem(objective, constraints)
problem.solve(solver=cp.ECOS)
# 提取结果
optimal_w = w.value
optimal_tau = tau.value
optimal_cvar = tau.value + (1/(1-alpha)) * (1/T) * np.sum(u.value)
return optimal_w, optimal_tau, optimal_cvar
# 示例：比较不同置信水平
np.random.seed(42)
returns = np.random.randn(252, 20) * 0.015 + 0.0004
w_90, var_90, cvar_90 = optimize_cvar_portfolio(returns, alpha=0.90)
w_95, var_95, cvar_95 = optimize_cvar_portfolio(returns, alpha=0.95)
w_99, var_99, cvar_99 = optimize_cvar_portfolio(returns, alpha=0.99)
print(f"CVaR 90%: {cvar_90:.4f}")
print(f"CVaR 95%: {cvar_95:.4f}") # 最常用的置信水平
print(f"CVaR 99%: {cvar_99:.4f}")
方法三：回撤风险组合优化
回撤（Drawdown）捕捉的是投资者真正经历的痛苦：看着财富从峰值下跌。一个关键的心理洞察是：50% 的损失需要 100% 的收益才能恢复。
def optimize_cdar_portfolio(returns, alpha=0.95, lambda_risk=1.0):
"""
最小化条件回撤风险（CDaR）
CDaR 是最差回撤的平均值，比最大回撤更稳定
因为它考虑多个糟糕情景，而不仅仅是单一最差情况
参数说明：
returns: 历史收益率矩阵
alpha: 置信水平
lambda_risk: 风险厌恶系数
"""
T, N = returns.shape
mu = returns.mean(axis=0)
cum_returns = np.cumsum(returns, axis=0) # 计算累计收益
# 决策变量
w = cp.Variable(N) # 投资组合权重
u = cp.Variable(T) # 历史最高水位标记
tau = cp.Variable() # 回撤 VaR
z = cp.Variable(T) # 超额回撤
# CDaR 目标函数
expected_return = mu @ w
cdar = tau + (1/(1-alpha)) * (1/T) * cp.sum(z)
objective = cp.Maximize(expected_return - lambda_risk * cdar)
# 约束条件
constraints = [
cp.sum(w) == 1,
w >=
0,
z >= 0,
]
# 回撤计算约束
for t in range(T):
drawdown_t = u[t] - cum_returns[t, :] @ w
constraints.append(u[t] >= cum_returns[t, :] @ w)
if t > 0:
constraints.append(u[t] >= u[t-1]) # 单调递增
constraints.append(z[t] >= drawdown_t - tau)
problem = cp.Problem(objective, constraints)
problem.solve(solver=cp.ECOS)
return w.value, tau.value
# 示例
np.random.seed(42)
returns = np.random.randn(252, 15) * 0.012 + 0.0003
w_cdar, dd_var = optimize_cdar_portfolio(returns, alpha=0.95, lambda_risk=5.0)
print(f"CDaR 95% 组合的回撤 VaR: {dd_var:.2%}")
print("优化权重：")
print(np.round(w_cdar, 4))
实测对比：哪种风险度量最优？
根据原文对 S&P 500 成分股的回测结果（2015-2020 年，每月再平衡，1 年回望期），不同风险度量的表现如下：
半方差（α=2）组合表现最佳，夏普比率达到 1.24，同时最大回撤比传统均值-方差组合降低了近 10%。熵风险价值（EVaR）在相同置信水平下持续优于 CVaR。极端度量如最大回撤组合表现较差，因为它们由单个数据点决定，导致不稳定。
如何选择风险度量？
对于大多数量化交易者，建议采用以下策略：
首先，将半方差作为均值-方差的默认升级方案。其次，在核心配置之上叠加 CVaR 或 EVaR 作为尾部风险覆盖层。最后，即使回撤不在优化目标中，也应将其作为健康指标进行监控。
选择时可参考以下决策流程：如果收益分布对称，使用均值-方差即可；如果主要担心尾部风险，选择 CVaR 或 EVaR；如果需要每日监控投资组合，选择 CDaR；其他情况下，半方差是最稳妥的选择。
总结
均值-方差优化仍是有用的基准方法，但在肥尾、结构性断裂和杠杆约束主导的市场中，它已不再足够。替代风险度量让你能够表达真正关心的内容：避免深度水下期、在尾部事件中存活、以及提供投资者能够坚持的更平滑的权益曲线。
本文介绍的三类方法——下行风险（半方差）、尾部风险（CVaR/EVaR）和路径相关风险（回撤）——都可以通过凸优化高效求解。如果你已经熟悉凸优化，现在就拥有了替换方差作为默认风险度量的所有要素，将风险管理从事后补救变成首要的设计选择。
参考文章
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