扎马步-常用概率分布函数详解：Python篇

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时间：2025 年 6 月 14-15；21-22；28-29 日每天9:00-12:30
咨询：王老师 18903405450（微信）

温馨提示: 文中链接在微信中无法生效。请点击底部「阅读原文」。或直接长按/扫描如下二维码，直达原文：

作者： 刘潍嘉 (清华大学)
邮箱：weijialiu99@163.com

受限于个人能力，文中难免有错误和疏漏之处，还请大家多多批评指正！

0. 引言

概率分布是统计建模、推断和数据分析的基石，它们为描述随机现象和量化不确定性提供了数学框架。本文为15种关键的离散和连续概率分布提供了相关理论及 Python 的软件实现概述。对于每种分布，将分别阐述其简介、常见用途、数学属性 (包括概率质量函数/概率密度函数 (PMF/PDF)、累积分布函数 (CDF)、矩母函数 (MGF)、特征函数 (CF)、期望值 (  ) 和方差 (  )，然后提供在 Python 中实现的代码示例，并附带使用多个参数绘制PMF/PDF和CDF图形变化的代码。整体结构分为两部分：第一部分介绍离散分布，第二部分介绍连续分布。

1. 离散分布

离散随机变量是指其可能取值是有限个或可数无限多个的随机变量。离散分布通过概率质量函数 (Probability Mass Function, PMF) 来描述，PMF 给出了随机变量取每个特定值的概率。离散分布广泛应用于对计数结果 (如事件发生次数、成功次数等) 进行建模。

1.1 伯努利分布 (X ~ Bernoulli(p))

1.1.1 简介与用途

伯努利分布是最简单的离散分布，用于模拟只有两个可能结果 (通常称为“成功”和“失败”，编码为 1 和 0) 的单次随机试验。参数  () 代表“成功”结果发生的概率。

常见用途：

• 模拟抛硬币 (正面/反面) 。
• 对调查问卷中的“是/否”回答进行建模。
• 表示某个特征的存在与否。
• 作为构建更复杂离散分布 (如二项分布、几何分布) 的基础模块。

1.1.2 数学性质

表 1.1：伯努利分布性质总结

1.1.3 软件实现 (Python)

    
import scipy.stats as stats  # 导入统计模块

# 参数设置
p_bernoulli = 0.7 

# 计算 PMF (P(X=1) 和 P(X=0)) 
print(f"P(X=1) for p={p_bernoulli}: {stats.bernoulli.pmf(1, p_bernoulli)}")
print(f"P(X=0) for p={p_bernoulli}: {stats.bernoulli.pmf(0, p_bernoulli)}")

# 计算 CDF (P(X<=0))
print(f"P(X<=0) for p={p_bernoulli}: {stats.bernoulli.cdf(0, p_bernoulli)}")

# 生成随机变量 (生成10个)
print(f"Random variables for p={p_bernoulli} (10 samples): {stats.bernoulli.rvs(p_bernoulli, size=10)}")

1.1.4 分布函数绘图 (Python)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 定义参数
k_values = [0, 1]
params_p = [0.3, 0.5, 0.7]
colors = ['blue', 'red', 'green']

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- 绘制 PMF ---
bar_width = 0.1
for i, p_val in enumerate(params_p):
    pmf_values = stats.bernoulli.pmf(k_values, p_val)
    # 为每个p值创建一组偏移的条形图
    ax1.bar(np.array(k_values) + (i - 1) * bar_width, pmf_values, width=bar_width, label=f'p = {p_val}', color=colors[i], alpha=0.7)

ax1.set_xticks(k_values)
ax1.set_xlabel('k (outcome)')
ax1.set_ylabel('P(X = k)')
ax1.set_title('Bernoulli Distribution PMF')
ax1.legend()
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6


    
)
ax1.set_ylim(bottom=0)

# --- 绘制 CDF ---
# 为了画阶梯图，我们需要在每个跳跃点前后都定义点
k_plot = np.linspace(-1, 2, 500)
for i, p_val in enumerate(params_p):
    cdf_values = stats.bernoulli.cdf(k_plot, p_val)
    ax2.plot(k_plot, cdf_values, label=f'p = {p_val}', color=colors[i])

ax2.set_xlabel('k')
ax2.set_ylabel('F(k) = P(X <= k)')
ax2.set_title('Bernoulli Distribution CDF')
ax2.legend()
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax2.set_ylim(-0.1, 1.1)
ax2.set_xlim(-1, 2)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.1.5 联系与延伸

伯努利分布是理解其他几个重要离散分布的关键基础。二项分布描述了多次独立伯努利试验中的成功次数；几何分布描述了获得第一次成功所需的伯努利试验次数；负二项分布则描述了获得指定次数成功所需的伯努利试验次数。因此，这些更复杂分布的性质 (如期望、方差) 通常可以通过考虑其底层的独立伯努利试验来推导。

1.2 二项分布 (X ~ Binomial(n, p))

1.2.1 简介与用途

二项分布用于描述在一系列固定的  次独立同分布的伯努利试验中，“成功”结果出现的次数 ，其中每次试验成功的概率为 。

常见用途：

• 质量控制：一批产品中次品的数量。
• 调查分析：同意某个观点的受访者人数。
• 市场研究：购买特定产品的客户数量。
• 任何涉及重复独立二元结果试验的场景。

1.2.2 数学性质

表 1.2：二项分布性质总结

说明：

• PMF 中的   是二项式系数，代表从  次试验中选出  次成功的方式数。
• 期望和方差可以通过将二项变量视为  个独立伯努利变量之和来推导：,   (其中 ) 。
• MGF 也是基于独立伯努利变量之和的 MGF 是各 MGF 的乘积这一性质得出的：。

1.2.3 软件实现 (Python)

import scipy.stats as stats  # 导入统计模块

# 参数设置
n_binom = 10# 试验次数
p_binom = 0.3# 成功概率

# 计算 PMF (例: k=3)
print(f"P(X=3) for n={n_binom}, p={p_binom}: {stats.binom.pmf(3, n_binom, p_binom)}")

# 计算 CDF (例: k=4)
print(f"P(X<=4) for n={n_binom}, p={p_binom}: {stats.binom.cdf(4, n_binom, p_binom)}")

# 生成随机变量 (生成5个)
print(f"Random variables for n={n_binom}, p={p_binom} (5 samples): {stats.binom.rvs(n_binom, p_binom, size=5)}")

1.2.4 分布函数绘图 (Python)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 定义参数
n_binom_plot = 20
params_p_binom = [0.2, 0.5, 0.8]
k_values_binom = np.arange(0, n_binom_plot + 1)
colors = ['blue', 'red', 


    
'green']

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- 绘制 PMF ---
for i, p_val in enumerate(params_p_binom):
    pmf_values = stats.binom.pmf(k_values_binom, n_binom_plot, p_val)
    ax1.plot(k_values_binom, pmf_values, marker='o', linestyle='-', label=f'p={p_val}', color=colors[i])

ax1.set_xlabel('k (Number of Successes)')
ax1.set_ylabel('P(X = k)')
ax1.set_title(f'Binomial Distribution PMF (n={n_binom_plot})')
ax1.legend()
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax1.set_xticks(k_values_binom[::2])

# --- 绘制 CDF ---
for i, p_val in enumerate(params_p_binom):
    cdf_values = stats.binom.cdf(k_values_binom, n_binom_plot, p_val)
    ax2.step(k_values_binom, cdf_values, where='post', label=f'p={p_val}', color=colors[i])

ax2.set_xlabel('k (Number of Successes)')
ax2.set_ylabel('F(k) = P(X <= k)')
ax2.set_title(f'Binomial Distribution CDF (n={n_binom_plot})')
ax2.legend()
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax2.set_xticks(k_values_binom[::2])
ax2.set_ylim(bottom=0)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.2.5 联系与延伸

二项分布与其他分布有着重要的联系。当试验次数  很大且成功概率  适中时，根据中心极限定理，二项分布可以用正态分布  来近似。通常当  且  时，近似效果较好。这是因为二项变量是独立同分布伯努利变量的和，而中心极限定理保证了独立同分布变量之和 (或均值) 在  趋于无穷时趋向正态分布。

另一方面，当  很大， 很小，使得  的值适中时，二项分布可以用泊松分布  来近似。这可以通过考察二项 PMF 在  条件下的极限来证明，极限结果恰好是泊松 PMF。这个近似在处理稀有事件的大量重复试验时非常有用。

此外，比较二项分布与泊松分布的方差和期望关系也很有启发。对于  的二项分布，方差  严格小于其期望 。而泊松分布的方差等于期望 () 。这意味着，如果使用  的泊松分布来近似二项分布，二项分布本身表现出相对于泊松分布的“欠离散” (underdispersion) 。在对实际计数数据建模时，这是一个重要的诊断特征：如果观察数据的方差显著小于均值，可能暗示着一个类似二项分布的机制 (例如，存在一个固定的试验总数上限) ，而不是一个纯粹的泊松过程。

1.3 几何分布 (X ~ Geometric(p))

1.3.1 简介与用途

几何分布用于模拟为了获得 第一次 成功所需要进行的独立伯努利试验的次数。需要注意的是，几何分布有两种常见的定义：

1.  代表获得第一次成功所需的总试验次数 () 。
2.  代表在第一次成功 之前 经历的失败次数 () 。

scipy.stats.geom 采用第一种定义 ( 为试验次数，)。

常见用途：

• 模拟离散场景下的等待时间 (例如，直到成功的尝试次数) 。
• 部件可靠性：直到首次失效的循环次数。
• 其他关注的是第一次成功所需的尝试次数，而不是总尝试次数的问题。

1.3.2 数学性质

表 1.3：几何分布性质总结 (X = 试验次数)

说明：

• PMF 表示前  次试验失败 (每次概率 ) ，第  次试验成功 (概率 ) 。
• CDF 可以通过计算 PMF 的累加和 (一个等比数列求和) 得到。
• 几何分布具有无记忆性 (Memoryless Property)：。这意味着，已知已经进行了  次试验且未成功，还需要进行至少  次试验才能成功的条件概率，等于从一开始就需要至少  次试验才能成功的概率。过去的失败不影响未来的等待时间。

1.3.3 软件实现 (Python)

import scipy.stats as stats  # 导入统计模块
import numpy 


    
as np  

# 参数设置
p_geom = 0.2# 成功概率

# 计算 PMF (例: 试验次数 k=5)
# scipy.stats.geom 定义 k 为试验次数 (k>=1)
print(f"P(X=5 trials) for p={p_geom}: {stats.geom.pmf(5, p_geom)}")

# 计算 CDF (例: 试验次数 k=5, P(X<=5))
print(f"P(X<=5 trials) for p={p_geom}: {stats.geom.cdf(5, p_geom)}")

# 生成随机变量 (生成10个试验次数)
print(f"Random variables (trials) for p={p_geom} (10 samples): {stats.geom.rvs(p_geom, size=10)}")

1.3.4 分布函数绘图 (Python)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 定义参数
params_p_geom = [0.1, 0.3, 0.5]
k_values_geom = np.arange(1, 21)
colors = ['blue', 'red', 'green']

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- 绘制 PMF ---
for i, p_val in enumerate(params_p_geom):
    pmf_values = stats.geom.pmf(k_values_geom, p_val)
    ax1.plot(k_values_geom, pmf_values, marker='o', linestyle='-', label=f'p={p_val}', color=colors[i])

ax1.set_xlabel('k (Number of Trials until first success)')
ax1.set_ylabel('P(X = k)')
ax1.set_title('Geometric Distribution PMF')
ax1.legend()
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax1.set_xticks(k_values_geom[::2])

# --- 绘制 CDF ---
for i, p_val in enumerate(params_p_geom):
    cdf_values = stats.geom.cdf(k_values_geom, p_val)
    ax2.step(k_values_geom, cdf_values, where='post', label=f'p=


    
{p_val}', color=colors[i])

ax2.set_xlabel('k (Number of Trials until first success)')
ax2.set_ylabel('F(k) = P(X <= k)')
ax2.set_title('Geometric Distribution CDF')
ax2.legend()
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax2.set_xticks(k_values_geom[::2])
ax2.set_ylim(bottom=0)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.3.5 联系与延伸

几何分布是连续情形下指数分布的离散对应。两者都用于模拟等待时间 (直到第一个事件发生) ，并且都具有标志性的无记忆性。这种概念上的联系对于在应用中 (如可靠性、排队) 选择使用离散时间模型还是连续时间模型至关重要。

同时，几何分布是负二项分布的一个特例。负二项分布计算的是获得  次成功所需的试验次数，而几何分布计算的是获得第 1 次成功所需的试验次数。在负二项分布的各种公式 (PMF、MGF 等) 中，令 ，即可得到相应的几何分布公式。这表明几何分布属于更广泛的等待时间分布族。

1.4 负二项 (帕斯卡) 分布 (X ~ Pascal(m, p) or NB(r, p))

1.4.1 简介与用途

负二项分布 (帕斯卡分布) 用于模拟在一系列独立同分布的伯努利试验中，为了达到预定次数  (或 ) 的成功，所需要的试验总次数，或者在达到  次成功 之前 所经历的失败次数。与几何分布类似，其定义需要明确：随机变量  究竟是计数总试验次数，还是计数失败次数。scipy.stats.nbinom 定义随机变量  是在获得  次成功 (对应文中的 ) 之前 所经历的失败次数 。

常见用途：

• 作为几何分布的推广 (等待  次成功) 。
• 对“过度离散” (overdispersed) 的计数数据进行建模，即数据的方差大于均值的情况，这在生物学、流行病学、经济学等领域很常见。
• 事故统计、消费者购买行为等模型。

1.4.2 数学性质

表 1.4：负二项分布性质总结 (X = 失败次数 k, r = 成功次数)

说明：

• PMF 的含义是：在总共   次试验中，最后一次必须是成功 (概率 ) ，而在之前的  次试验中，恰好有  次成功和  次失败。从  次中选择  次失败位置的方式数为 。
• 当  时，PMF 变为几何分布 (失败次数) 。
• 期望和方差可以通过将负二项变量看作  个独立几何变量 (计数失败次数) 之和来推导。

1.4.3 软件实现 (Python)

import scipy.stats as stats  # 导入统计模块

# 参数设置
r_nbinom = 5# 成功次数 (scipy中的 n)
p_nbinom = 0.6# 成功概率 (scipy中的 p)

# 计算 PMF (例: k=3 次失败)
# scipy.stats.nbinom 定义 k 为失败次数
print(f"P(X=3 failures) for r={r_nbinom}, p={p_nbinom}: {stats.nbinom.pmf(3, r_nbinom, p_nbinom)}")

# 计算 CDF (例: k=4 次失败, P(X<=4))
print(f"P(X<=4 failures) for r={r_nbinom}, p={p_nbinom}: {stats.nbinom.cdf(4, r_nbinom, p_nbinom)}")

# 生成随机变量 (生成10个失败次数)
print(f"Random variables (failures) for r={r_nbinom}, p={p_nbinom} (10 samples): {stats.nbinom.rvs(r_nbinom, p_nbinom, size=10)}")

1.4.4 分布函数绘图 (Python)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 定义参数
r_nbinom_plot = 5
params_p_nbinom = [0.2, 0.5, 0.8]
k_values_nbinom = np.arange(0, 31)
colors = ['blue', 'red', 'green']

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- 绘制 PMF ---
for i, p_val in enumerate(params_p_nbinom):
    pmf_values = stats.nbinom.pmf(k_values_nbinom, r_nbinom_plot, p_val)
    ax1.plot(k_values_nbinom, pmf_values, marker='o', linestyle='-', label=f'p={p_val}', color=colors[i])

ax1.set_xlabel(


    
'k (Number of Failures)')
ax1.set_ylabel('P(X = k)')
ax1.set_title(f'Negative Binomial PMF (r={r_nbinom_plot})')
ax1.legend()
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax1.set_xticks(k_values_nbinom[::2])

# --- 绘制 CDF ---
for i, p_val in enumerate(params_p_nbinom):
    cdf_values = stats.nbinom.cdf(k_values_nbinom, r_nbinom_plot, p_val)
    ax2.step(k_values_nbinom, cdf_values, where='post', label=f'p={p_val}', color=colors[i])

ax2.set_xlabel('k (Number of Failures)')
ax2.set_ylabel('F(k) = P(X <= k)')
ax2.set_title(f'Negative Binomial CDF (r={r_nbinom_plot})')
ax2.legend()
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax2.set_xticks(k_values_nbinom[::2])
ax2.set_ylim(bottom=0)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.4.5 联系与延伸

负二项分布可以通过泊松分布与伽马分布的混合得到。如果  的条件分布是 ，而  服从 ，则  的边际分布是 。这解释了其在过度离散数据建模中的应用。

此外，负二项分布是  个独立几何分布变量 (计数失败次数) 之和，提供了一个直观的构造方式。

1.5 超几何分布 (X ~ Hypergeometric(N, K, n))

1.5.1 简介与用途

超几何分布描述了从一个包含  个元素 (其中有  个“成功”元素和  个“失败”元素) 的有限总体中，进行不放回抽样，抽取  个元素时，抽到的“成功”元素的数量 。

常见用途：

• 质量控制：从一批产品中抽检  件，其中次品 (成功) 的数量。
• 生态学研究：标记重捕法估计种群数量。
• 遗传学：抽取等位基因。
• 纸牌游戏：发牌时某种牌的数量。

与二项分布的关键区别：超几何分布的试验是不独立的，因为每次抽取都改变了总体中剩余元素的构成比例。

1.5.2 数学性质

表 1.5：超几何分布性质总结

说明：

• PMF 的逻辑是：从  个成功元素中选出  个的方式数 ，乘以从  个失败元素中选出  个的方式数 ，再除以从  个总元素中选出  个的所有可能方式数 。
• 期望值的形式  与二项分布的期望  类似，其中  是第一次抽取时成功概率。
• 方差包含有限总体修正因子 (FPC) ，比二项分布方差小，反映不放回抽样的信息增益。

1.5.3 软件实现 (Python)

scipy.stats.hypergeom 使用参数 M (总体大小 N), n (总体中成功元素个数 K), N (抽取样本大小 n)。 为了避免混淆，这里代码中的变量名会尽量对应 scipy 的参数名。

import scipy.stats as stats  # 导入统计模块

# 参数设置 (对应 scipy.stats.hypergeom)
M_hyper = 50# 总体大小 (N_total in text)
n_hyper = 10# 总体中成功元素个数 (K_success in text)
N_drawn_hyper = 8   # 抽取样本大小 (n_drawn in text)

# 计算 PMF (例: x=2 个成功)
# k 是抽取的样本中的成功数
print(f"P(X=2) for M={M_hyper}, n={n_hyper}, N={N_drawn_hyper}: {stats.hypergeom.pmf(k=2, M=M_hyper, n=n_hyper, N=N_drawn_hyper)}")

# 计算 CDF (例: x=3 个成功, P(X<=3))
print(f"P(X<=3) for M={M_hyper}, n={n_hyper}, N={N_drawn_hyper}: {stats.hypergeom.cdf(k=3, M=M_hyper, n=n_hyper, N=N_drawn_hyper)}")

# 生成随机变量 (生成10个)
print(f"Random variables for M={M_hyper}, n={n_hyper}, N={N_drawn_hyper} (10 samples): {stats.hypergeom.rvs(M=M_hyper, n=n_hyper, N=N_drawn_hyper, size=10)}")

1.5.4 分布函数绘图 (Python)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 定义参数
M_plot = 50
N_drawn_plot = 10
params_n_success = [5, 15, 25] # K in text, n in scipy
k_values_hyper = np.arange(0, N_drawn_plot + 1)
colors = ['blue', 'red', 'green']

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- 绘制 PMF ---
for i, n_success_val in enumerate(params_n_success):
    valid_k = k_values_hyper[k_values_hyper <= n_success_val]
    pmf_values = stats.hypergeom.pmf(valid_k, M=M_plot, n=n_success_val, N=N_drawn_plot)
    ax1.plot(valid_k, pmf_values, marker='o', linestyle='-', label=f'K={n_success_val}', color=colors[i])

ax1.set_xlabel('k (Number of Successes in Sample)')
ax1.set_ylabel('P(X = k)')
ax1.set_title(f'Hypergeometric PMF (N={M_plot}, n_drawn={N_drawn_plot})')
ax1.legend()
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax1.set_xticks(k_values_hyper)

# --- 绘制 CDF ---
for i, n_success_val in enumerate(params_n_success):
    cdf_values = stats.hypergeom.cdf(k_values_hyper, M=M_plot, n=n_success_val, N=N_drawn_plot)
    ax2.step(k_values_hyper, cdf_values, where='post', label=f'K={n_success_val}', color=colors[i])

ax2.set_xlabel('k (Number of Successes in Sample)')
ax2.set_ylabel('F(k) = P(X <= k)')
ax2.set_title(f'Hypergeometric CDF (N={M_plot}, n_drawn={N_drawn_plot})')
ax2.legend()
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax2.set_xticks(k_values_hyper)
ax2.set_ylim(bottom=0)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.5.5 联系与延伸

当  (总体大小远大于样本大小时)，超几何分布近似于 ，因为不放回抽样的影响变得很小。这在大型总体抽样中常用于简化计算。

1.6 泊松分布 (X ~ Poisson(λ))

1.6.1 简介与用途

泊松分布用于模拟固定区间内随机独立事件的数量，参数  是平均发生次数。

常见用途：

• 呼叫中心：单位时间内电话数量。
• 生物学：DNA 突变数量。
• 物理学：放射性衰变次数。

1.6.2 数学性质

表 1.6：泊松分布性质总结

说明：

• 期望等于方差 (等离散性) 。
• 可加性：独立泊松变量之和仍为泊松分布。如果  和  是独立的，则 。

1.6.3 软件实现 (Python)

scipy.stats.poisson 使用参数 mu 对应文中的 。

    
import scipy.stats as stats

# 参数设置
lambda_param_poisson = 3.5 # scipy 中用 mu 表示 lambda

# 计算 PMF (例: k=4)
print(f"P(X=4) for lambda={lambda_param_poisson}: {stats.poisson.pmf(4, mu=lambda_param_poisson)}")

# 计算 CDF (例: k=5, P(X<=5))
print(f"P(X<=5) for lambda={lambda_param_poisson}: {stats.poisson.cdf(5, mu=lambda_param_poisson)}")

# 生成随机变量 (生成10个)
print(f"Random variables for lambda={lambda_param_poisson} (10 samples): {stats.poisson.rvs(mu=lambda_param_poisson, size=10)}")

1.6.4 分布函数绘图 (Python)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 定义参数
params_lambda_poisson = [1.0, 4.0, 10.0]
max_k_poisson = 25
k_values_poisson = np.arange(0, max_k_poisson + 1)
colors = ['blue', 'red', 'green']

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# --- 绘制 PMF ---
for i, lambda_val in enumerate(params_lambda_poisson):
    pmf_values = stats.poisson.pmf(k_values_poisson, mu=lambda_val)
    ax1.plot(k_values_poisson, pmf_values, marker='o', linestyle='-', label=f'λ={lambda_val}', color=colors[i])

ax1.set_xlabel('k (Number of Events)')
ax1.set_ylabel('P(X = k)')
ax1.set_title('Poisson Distribution PMF')
ax1.legend()
ax1.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax1.set_xticks(k_values_poisson[::2])

# --- 绘制 CDF ---
for i, lambda_val in enumerate(params_lambda_poisson):



    
    cdf_values = stats.poisson.cdf(k_values_poisson, mu=lambda_val)
    ax2.step(k_values_poisson, cdf_values, where='post', label=f'λ={lambda_val}', color=colors[i])

ax2.set_xlabel('k (Number of Events)')
ax2.set_ylabel('F(k) = P(X <= k)')
ax2.set_title('Poisson Distribution CDF')
ax2.legend()
ax2.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax2.set_xticks(k_values_poisson[::2])
ax2.set_ylim(bottom=0)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.6.5 联系与延伸

泊松分布是二项分布在  条件下的极限，适用于描述在连续时间或空间内稀有事件的发生次数。当  较大时 (通常  或  作为一个粗略的指导)，泊松分布可以用正态分布  来近似。如果观察到的计数数据的方差显著大于或小于其均值，则可能需要考虑其他分布，如负二项分布 (用于过度离散，方差大于均值) 或广义泊松分布。

2. 连续分布

连续随机变量的取值覆盖一个区间或多个区间的并集。它们通过概率密度函数 (Probability Density Function, PDF)   来描述。对于连续随机变量 ，其在任意单点  的概率 。概率是通过 PDF 在某个区间上的积分来定义的：。

2.1 指数分布 (X ~ Exponential(λ))

2.1.1 简介与用途

指数分布用于模拟独立随机事件发生的时间间隔。如果事件的发生遵循泊松过程 (即单位时间内事件发生的平均次数  是恒定的)，那么两次连续事件之间的时间间隔服从参数为  (速率参数) 的指数分布。有时也用尺度参数  来参数化。

常见用途：

• 可靠性工程：设备或部件的无故障运行时间。
• 排队论：顾客到达服务台的时间间隔，或服务时间的模型。
• 放射性衰变：放射性粒子衰变所需的时间。

2.1.2 数学性质

表 2.1：指数分布性质总结 (参数为速率 )

说明：

• 无记忆性： for 。这意味着，如果一个设备已经无故障运行了  小时，它还能至少再无故障运行  小时的概率，与一个全新设备能至少无故障运行  小时的概率相同。