为了更好的学习深度学习，接下来会撰写一些面向初学者的数学基础教程，涵盖线性代数、微积分和概率论等核心主题，这些知识是真正掌握量化交易中深度学习方法所不可或缺的。
本文是该系列中关于“深度学习中的线性代数”的第一篇。我们的目标在于帮助读者熟悉基本概念和常用符号，这些对于寻找最优量化交易策略至关重要，因此掌握相应的数学语言会事半功倍。
线性代数是数学的基础分支，在物理科学中应用极为广泛，同时它也是众多机器学习算法的理论基石。因此，对于深度学习从业者而言，深刻理解其核心思想至关重要。
需要指出的是，线性代数属于连续数学的范畴，而非离散数学。数学家、物理学家、工程师以及量化分析师通常通过微分方程的学习来接触连续数学，而微分方程正是描述诸多物理和金融现象的重要工具。
然而，计算机科学家、软件开发人员或个人交易者可能更多接触的是图论、组合数学等离散数学内容。因此，对于这类读者，本文中所涉及的集合与函数符号可能初看略显陌生。
为此，本系列文章将摒弃传统本科数学教材中“定理-证明”式的写法，而是有选择地讨论与深度学习实践密切相关的主题，力求让不同背景的从业者都能有所收获。
引言
线性代数、概率论与微积分是机器学习的“语言”。掌握这些学科，不仅能帮助你更深入地理解算法背后的运行机制，还能为开发新算法奠定基础，而这些算法最终可应用于更复杂的量化交易策略之中。
许多监督机器学习与深度学习算法，本质上都是通过调整模型参数来优化损失函数，要实现这一目标，就需要了解损失函数随模型参数变化而变化的规律。
这自然引出了微积分，数学中研究一个量相对于另一个量变化的基础分支。具体而言，这里需要用到偏导数的概念，它描述了每个参数单独变化时对损失函数的影响。
这些偏导数通常以矩阵形式组织在一起，从而简化计算过程。即便是最基础的机器学习模型，如线性回归，也是借助线性代数方法进行优化的。
线性代数的一个核心内容，便是向量与矩阵的表示方法。能够“读懂”线性代数的语言，将使你有能力理解包含复杂模型描述的教材、线上教学文章和研究论文等。这不仅有助于复现和验证已有模型，还能推动你进行拓展与创新，进而将其应用于交易策略之中。
线性代数还是迈向向量化运算的第一步，它提供了一种更深层次的思路来思考某些操作的并行化。采用传统“for循环”编写的算法，可以改写为矩阵方程形式，从而显著提升计算效率。
这类方法已被广泛应用于NumPy、SciPy、Scikit-Learn、Pandas和TensorFlow等主流Python库中。GPU的设计本身也针对线性代数运算进行了优化。深度学习的爆发式增长，在一定程度上正是得益于底层算法在普通GPU硬件上的高度并行化特性。
线性代数虽属连续数学范畴，但本文后续讨论的对象最终都要在离散的计算环境中实现。这些线性代数对象的离散表示可能会带来溢出和下溢问题，即数值计算中有效表示极大或极小数字时会遇到的限制。
缓解数值表示精度问题的一种方法，是采用矩阵分解技术。这类技术可以将某些矩阵表示为更简单、更具结构性的矩阵，从而获得良好的计算性质。
矩阵分解方法包括LU分解、QR分解和奇异值分解SVD。它们是一些机器学习算法（如线性最小二乘法和主成分分析）的内在组成部分。
线性代数对于深度学习的重要性，怎么强调都不为过。对于希望应用基于深度学习技术的最前沿量化模型，或有意向相关机构求职的读者来说，扎实掌握线性代数知识是必不可少的。
本系列文章所涵盖的内容仅为最基本的入门知识，若要深入理解研究前沿，还需在此基础上进一步学习。
向量与矩阵
线性代数中两个基本的数学对象是向量和矩阵。它们属于更一般的数学对象：张量，的具体实例。张量具有阶，或称秩，该阶数决定了表示该张量所需数组的维度数目。
标量
标量即单个数值，是零阶张量的一个实例。在数学中，通常需要明确标量所属的数值集合。记号 𝑥∈𝑅 表示标量值 𝑥 是实数集合 𝑅 中的一个元素，或称成员。
机器学习中常涉及若干不同的数集。𝑁表示正整数集合（1, 2, 3, …）；𝑍表示整数集合，包含正整数、负整数和零；𝑄表示有理数集合，即可以表示为两个整数之比的数。
向量
向量是按一定顺序排列的单个数值数组，是一阶张量的实例。向量属于称为向量空间的对象中的成员。向量空间可以理解为特定长度，或称维度的所有可能向量的全体集合。三维实值向量空间，记为 𝑅^3，常用于在数学上表示我们对现实三维空间的直观概念。
更正式地说，向量空间是一个集合与其自身的 𝑛 维笛卡尔积，并配以合适的向量加法与标量乘法定义。如果向量中的所有标量均为实数，则记号 𝑥∈𝑅^𝑛表示向量值 𝑥是 𝑛维实数向量空间 𝑅^𝑛中的成员。
有时需要明确指出向量的各个分量。向量的第 𝑖个标量元素记为 𝑥𝑖。注意此处使用非粗体小写，因为该元素是标量。一个 𝑛维向量本身可采用如下记号明确写出：
既然已经有了表示数值的标量，为什么还需要向量呢？ 向量的主要用途之一，是表示同时具有大小和方向的物理量，而标量只能表示大小。
例如，标量和向量可以区分汽车速率和速度这两个概念。速度不仅包含速率大小，还包含行驶方向。不难想象，许多物理量都具有类似特征，如重力、电磁力或风速等。
在机器学习中，向量通常用作特征向量，其各个分量表示某一特定特征的重要程度。这些特征可以包括：文本文档中词语的相对重要性、二维图像中像素点的灰度值，或一组金融工具的历史价格数据等。
矩阵
矩阵是由数字构成的矩形数组，是二阶张量的一个实例。若 𝑚和 𝑛为正整数（即 𝑚,𝑛∈𝑁），则一个 𝑚×𝑛矩阵包含 𝑚𝑛个数字，排列成 𝑚行和 𝑛列。
若矩阵中的所有标量均为实数，则该矩阵用粗体大写字母表示，如 𝐴∈𝑅^𝑚×𝑛。也就是说，该矩阵属于 𝑚×𝑛维的实值向量空间。因此，矩阵实质上就是向量，只不过以二维表格的形式书写而已。
矩阵的各个分量现在由两个下标 𝑖 和 𝑗 来标识。其中 𝑖 表示行索引，𝑗 表示列索引。矩阵 𝐴 的每个分量记为 𝑎𝑖 。完整的 𝑚×𝑛 矩阵可写成如下形式：
为简化表达，完整的矩阵分量展开式通常可简写为如下形式：
其中，𝑎𝑖𝑗 称为矩阵 𝐴 的 (𝑖,𝑗)元素。若矩阵的维度在上下文中已明确，则可省略下标中的 𝑚×𝑛 标注。
需要留意的是，列向量实际上是大小为 𝑚×1 的矩阵，因为它有 𝑚 行、1 列。除非另有说明，本文中所有向量均视为列向量。
矩阵代表了一类称为线性映射的函数。根据后续文章中将介绍的相关规则，可以定义矩阵与矩阵之间、或矩阵与向量之间的乘法运算。这些运算在物理科学、量化金融、计算机科学和机器学习等领域都具有极其重要的意义。
矩阵可以编码几何操作，如旋转、反射和变换。因此，若在计算机辅助设计（CAD）软件中，一组向量表示某个三维几何模型的顶点，则将这些向量分别与预定义的旋转矩阵相乘，即可得到旋转后顶点位置的新向量。这正是现代三维计算机图形学的基础。
在深度学习中，神经网络的权重以矩阵形式存储，而特征输入则以向量形式存储。将问题用线性代数的语言表述，可以紧凑地处理这些计算。通过将问题转化为张量形式，并借助线性代数的运算法则，便能在现代GPU硬件上实现快速的训练。
张量
张量作为更一般的数学对象，涵盖了标量、向量和矩阵。在物理科学和机器学习中，有时需要使用阶数超过二的张量。
在理论物理学，特别是广义相对论中，黎曼曲率张量是一个四阶张量，用于描述时空的局部曲率。在机器学习，尤其是深度学习中，三阶张量可用于表示二维图像多个通道（如红、绿、蓝）的强度值。
本系列文章中，张量将采用粗体无衬线字体符号（如 𝐴）来标识。三阶张量的元素记为 𝑎𝑖𝑗𝑘 ，四阶张量的元素则记为 𝑎𝑖𝑗𝑘𝑙。
在下一篇文章中，我们将介绍矩阵与向量、矩阵与矩阵之间乘法运算的基本规则。这一部分内容统称为矩阵代数。
