本篇文章将深入探讨机器学习中的三个关键概念：线性回归（Linear Regression）、成本函数（Cost Function）和梯度下降（Gradient Descent）。这些概念构成了许多机器学习算法的基础。理解这些概念对于理解更高级的机器学习知识，如例如神经网络至关重要。
与任何机器学习问题一样，我们首先要回答一个特定的问题。在本例中：马克正在考虑出售他2400平方英尺的房子，需寻求帮助，以便确定他房子卖多少价格合适。
首先，在马克的社区里寻找类似的房子。稍加搜索后，我们找到了附近三栋房子的列表，并查看它们的售价。当然，典型的数据集会包含数千甚至数万个数据点，但为了简单起见，我们只使用这三栋房子。
把这3个房子的面积和价格图形化：
通过检查数据，我们发现房屋价格与其面积呈线性关系。为了对这种关系进行建模，我们可以使用一种名为“线性回归”的机器学习技术。这需要在散点图上绘制一条最能代表数据点模式的线。我们的模型可能如下所示：
现在使用这条线，我们可以说一栋面积为 2400 平方英尺的房子应该卖到..…约26万美元。
现在最大的问题是：我们如何确定最适合我们数据的线？
本来可以画一条稍微偏离的线，像这样：
或者更糟糕的是，像这样：
我们可以清楚地看到，它们并不像第一行那样适合我们的数据。为了找到最佳价格线，我们首先需要用数学方法表示出一条糟糕的价格线是什么样子的。
让我们以这条“糟糕”的价格线为例，根据这条线，一栋2000平方英尺的房子应该卖到14万美元左右，而我们知道它的实际售价是30万美元：
它也与所有其他值有显著不同：
平均而言，这条线路节省约 94,000 美元（50,000 美元 + 160,000 美元 + 72,000 美元 / 3）。这里有一句更好的话：
这条线平均偏差约 44,000 美元，效果好多了。这 44,000 美元被称为使用这条线的成本。
成本函数：
成本指的是这条线与实际数据的偏差程度。最佳线是与实际数据的偏差最小或成本最低的线。
为了找出哪条线是最佳线，我们需要使用成本函数。
利用平均绝对误差 (MAE)成本函数来确定实际房价与预测房价之间的偏差。这基本上计算了实际房价（表示为 y，因为它代表 y 轴上的值）与预测房价（表示为 ŷ）之间的偏差的平均值。用数学公式MAE表示如下：
在计算 MAE 时使用绝对值，是因为它们确保预测值与实际值之间的差值始终为正，无论预测值是高还是低。这可以公平地比较不同预测值之间的误差，因为如果不取绝对值，正负差值会相互抵消。
根据机器学习算法和具体问题，可以采用各种类型的成本函数。对于上面的问题，我们不使用MAE，而是采用一种常用的方法——均方误差 (MSE)，它计算预测房价与实际房价之差平方的平均值。
最终，任何成本函数的目的都是最小化其值并尽可能地降低成本。
直线方程：
在深入探讨线性回归之前，我们先回顾一下基础知识。以下是一条直线的示例：y = 1 + 2x。第一个数字称为截距，它告诉我们这条线开始时应该有多高。
第二个告诉我们直线的角度（或者用专业术语来说，斜率）：
现在我们理解了方程的原理，只需要确定斜率和截距这两个值的最优值，就能得到线性回归问题的最佳拟合线。
为了更简单起见，我们假设斜率的值已经神奇地变成了
0.069。因此我们的线性回归线方程是：
要获得特定面积房屋的预测价格，我们只需代入截距值和期望房屋面积即可。例如，对于面积为 1000 平方英尺²、截距为0 的房屋……
得到的预测房价是 69,000 美元。因此，现在我们要做的就是找到截距的最优值，从而得到线性回归模型。
一种选择（我们很快就会发现它相当繁琐，而且没什么意思）是使用蛮力，我们反复猜测截距的值，画一条LR线，然后计算MSE。仅仅为了实验，让我们尝试一下这种方法。
首先猜测截距的随机值（让我们从 0 开始）并绘制 LR 线：
然后我们计算这条线的MSE：
为了直观地理解，让我们在图表上绘制截距值和相应的MSE ：
接下来，我们将测试截距
的另一个值（假设为25），绘制相应的线，并计算MSE。
我们可以使用不同的截距值（= 0、25、50、75、100、125、150 和 175）继续此过程，直到得到如下所示的图表：
从图上绘制的点可以看出，截距设为 100 时，MSE最低。然而，在 75 到 100 之间可能存在另一个截距值，这会导致更低的MSE。一种寻找最小MSE 的缓慢而痛苦的方法是，像下面这样不断地插入和填充一堆截距值：
尽管我们付出了努力，但仍无法确定是否找到了最低的MSE值。测试多个截距值的过程既繁琐又低效。幸运的是，梯度下降法可以通过更高效的方式找到最优解来解决这个问题。
原文：https://medium.com/data-science/back-to-basics-part-uno-linear-regression-cost-function-and-gradient-descent-590dcb3eee46
